défrichemens deviennent plus difficiles et plus rares; alors l'accroissement de la population diminue: elle se rapproche continuellement de l'état variable des subsistances, en faisant autour de lui, des oscillations, à peu près comme un pendule, dont on promène d'un mouvement retardé, le point de suspension, oscille autour de ce point, par sa pesanteur. Il est difficile d'évaluer le maximum d'accroissement de la population: il paraît d'après quelques observations, que dans de favorables circonstances, la population de l'espèce humaine pourrait doubler, tous les quinze ans. On estime que dans l'Amérique septentrionale, la période de ce doublement est de vingt-deux années. Dans cet état de choses, la population, les naissances, les mariages, la mortalité, tout croît suivant la même progression géométrique dont on a le rapport constant des termes consécutifs, par l'observation des naissances annuelles à deux époques.

Une table de mortalité, représentant les probabilités de la vie humaine, on peut déterminer, à son moyen, la durée des mariages. Supposons pour simplifier, que la mortalité soit la même pour les deux sexes, on aura la probabilité que le mariage subsistera un an, ou deux, ou trois, etc., en formant une suite de fractions dont le dénominateur commun soit le produit des deux nombres de la table, correspondans aux âges des conjoints, et dont les numérateurs soient les produits successifs des nombres correspondans à ces âges augmentés d'une, de deux, de trois, etc., années. La somme de ces fractions, augmentée d'un demi, sera la durée moyenne du mariage, l'année étant prise pour unité. Il est facile d'étendre la même règle, à la durée moyenne d'une association formée de trois ou d'un plus grand nombre d'individus.

Des bénéfices des établissemens qui dépendent de la probabilité des événemens.

Rappelons ici ce que nous avons dit en parlant de l'espérance. On a vu que pour obtenir l'avantage qui résulte de plusieurs événemens simples dont les uns produisent un bien, et les autres, une perte, il faut ajouter les produits de la probabilité de chaque événement favorable, par le bien qu'il procure, et retrancher de leur somme, celle des produits de la probabilité de chaque événement défavorable, par la perte qui y est attachée. Mais quel que soit l'avantage exprimé par la différence de ces sommes, un seul événement composé de ces événemens simples, ne garantit point de la crainte d'éprouver une perte. On conçoit que cette crainte doit diminuer lorsque l'on multiplie l'événement composé. L'analyse des probabilités conduit à ce théorème gé

néral.

Par la répétition d'un événement avantageux, simple ou composé, le bénéfice réel devient de plus en plus probable, et s'accroît sans cesse : il devient certain, dans l'hypothèse d'un nombre infini de répétitions; et en le divisant par ce nombre, le quotient ou le bénéfice moyen de chaque événement, est l'espérance mathématique elle-même, ou l'avantage relatif à l'événement. Il en est de même de la perte qui devient certaine à la longue, pour peu que l'événement soit désavantageux.

Ce théorème sur les bénéfices et les pertes, est analogue à ceux que nous avons donnés précédemment sur les rapports qu'indique la répétition indéfinie des événemens simples ou composés ; et comme eux, il prouve que la régularité finit par s'établir dans les choses mêmes les plus subordonnées à ce que nous nommons hasard.

Lorsque les événemens sont en grand nombre, l'Analyse donne encore une expression fort simple de la probabilité que le bénéfice sera compris dans des limites déterminées, expression qui rentre dans la loi générale de la probabilité, que nous avons donnée ci-dessus, en parlant des probabilités qui résultent de la multiplication indéfinie des événemens.

C'est de la vérité du théorème précédent, que dépend la stabilité des établissemens fondés sur les probabilités. Mais pour qu'il puisse leur être appliqué, il faut que ces établissemens, par de nombreuses affaires, multiplient les événemens avantageux.

On a fondé sur les probabilités de la vie humaine, divers établissemens, tels que les rentes viagères et les tontines. La méthode la plus générale et la plus simple de calculer les bénéfices et les charges de ces établissemens, consiste à les réduire en capitaux actuels. L'intérêt annuel de l'unité, est ce que l'on nomme taux de l'intérêt. A la fin de chaque année, un capital acquiert pour facteur, l'unité plus le taux de l'intérêt; il croît donc suivant une progression géométrique dont ce facteur est la raison. Ainsi par l'effet du temps, il devient immense. Si, par exemple, le taux de l'intérêt est — ou de cinq pour cent, le capital double à fort peu près en quatorze ans, quadruple en vingt-neuf ans, et dans moins de trois siècles, il devient deux millions de fois plus considérable.

Un accroissement aussi prodigieux a fait naître l'idée de s'en servir, pour amortir la dette publique. On forme pour cela une caisse d'amortissement à laquelle on consacre un fonds annuel, employé au rachat des effets publics et sans cesse accrû de l'intérêt des effets rachetés. Il est clair qu'à la longue, cette caisse absor

bera une grande partie de la dette nationale. Si lorsque les besoins de l'État obligent à faire un emprunt, on consacre une partie de cet emprunt à l'accroissement du fonds annuel d'amortissement, les variations des effets publics seront moindres ; la confiance des prêteurs, et la probabilité de retirer sans perte le capital prêté, quand on le désire, en seront augmentées, et rendront les conditions de l'emprunt moins onéreuses. D'heureuses expériences ont pleinement confirmé ces avantages. Mais la fidélité dans les engagemens et la stabilité, si nécessaires au succès de pareils établissemens, ne peuvent être bien garanties, que par un gouvernement dans lequel la puissance législative est divisée en plusieurs pouvoirs indépendans. La confiance qu'inspire le concours nécessaire de ces pouvoirs, double la force de l'État; et le Souverain lui-même gague alors en puissance légale, beaucoup plus qu'il ne perd en puissance arbitraire.

Il résulte de ce qui précède, que le capital actuel équivalent à une somme qui ne doit être payée qu'après un certain nombre d'années, est égal à cette somme multipliée par la probabilité qu'elle sera payée à cette époque, et divisée par l'unité augmentée du taux de l'intérêt et élevée à une puissance exprimée par le nombre de ces années.

Il est facile d'appliquer ce principe, aux rentes viagères sur une ou sur plusieurs têtes, et aux caisses d'épargne et d'assurance d'une nature quelconque. Supposons que l'on se propose de former une table de rentes viagères, d'après une table donnée de mortalité. Une rente viagère payable au bout de cinq ans, par exemple, et réduite en capital actuel, est, par ce principe, égale au produit des deux quantités suivantes,

savoir, la rente divisée par la cinquième puissance de l'unité augmentée du taux de l'intérêt, et la probabilité de la payer. Cette probabilité est le rapport inverse du nombre des individus inscrits dans la table, vis-à-vis de l'âge de celui qui constitue la rente, au nombre inscrit vis-à-vis de cet âge augmenté de cinq années. En formant donc une suite de fractions dont les dénominateurs soient les produits du nombre de personnes indiquées dans la table de mortalité, comme vivantes à l'âge de celui qui constitue la rente, par les puissances successives de l'unité augmentée du taux de l'intérêt, et dont les numérateurs soient les produits de la rente, par le nombre des personnes vivantes au même âge augmenté successivement d'une année, de deux années, etc., la somme de ces fractions sera le capital requis pour la rente viagère à cet âge.

Supposons maintenant qu'une personne veuille, au moyen d'une rente viagère, assurer à ses héritiers, un capital payable à la fin de l'année de sa mort. Pour déterminer la valeur de cette rente, on peut imaginer que la personne emprunte en viager à une caisse, ce capital, et qu'elle le place à intérêt perpétuel à la même caisse. Il est clair que ce capital sera capital sera dû par la caisse, à ses héritiers, à la fin de l'année de sa mort; mais elle n'aura payé, chaque année, que l'excès de l'intérêt viager sur l'intérêt perpétuel. La table des rentes viagères fera donc connaître ce que la personne doit payer anuellement à la caisse, pour assurer ce capital après sa mort.

Les assurances maritimes, celles contre les incendies et les orages, et généralement tous les établissemens de ce genre, se calculent par les mêmes principes. Un négociant a des vaisseaux en mer, il veut assurer leur valeur et celle de leur cargaison, contre les dangers