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cela il donne une somme à

qu'ils peuvent courir : pour une compagnie qui lui répond de la valeur estimée de ses cargaisons et de ses vaisseaux. Le rapport de cette valeur à la somme qui doit être donnée pour prix de l'assurance, dépend des dangers auxquels les vaisseaux sont exposés, et ne peut être apprécié que par des observations nombreuses sur le sort des vaisseaux partis du port pour la même destination.

Si les personnes assurées ne donnaient à la compagnie d'assurance, que la somme indiquée par le calcul des probabilités, cette compagnie ne pourrait pas subvenir aux dépenses de son établissement; il faut donc qu'elles paient d'une somme plus forte, le prix de leur assurance. Mais alors quel est leur avantage? C'est ici que la considération du désavantage moral attaché à l'incertitude, devient nécessaire. On conçoit que le jeu le plus égal devenant, comme on l'a vu précédemment, désavantageux, parce que le joueur échange une mise certaine, contre un bénéfice incertain, l'assurance par laquelle on échange l'incertain contre le certain, doit être avantageuse. C'est, en effet, ce qui résulte de la règle que nous avons donnée ci-dessus pour déterminer l'espérance morale, et par laquelle on voit de plus jusqu'où peut s'étendre le sacrifice que l'on doit faire à la compagnie d'assurance, en conservant toujours un avantage moral. Cette compagnie peut donc, en procurant cet avantage, faire elle-même un grand bénéfice, si le nombre des assurés est très-considérable, condition nécessaire à son existence durable. Alors son bénéfice devient certain, et ses espérances mathématiques et morales coïncident. Car l'Analyse conduit à ce théorème général, savoir, que si les expectatives sont très-nombreuses, les deux espérances approchent sans cesse l'une de l'au

tre, et finissent par coïncider dans le cas d'un nombre infini d'expectatives.

Nous avons dit, en parlant des espérances mathématique et morale, qu'il y a un avantage moral à répartir les risques d'un bien que l'on attend, sur plusieurs de ses parties. Ainsi, pour faire parvenir une somme d'argent d'un port éloigné, il vaut mieux la répartir sur plusieurs vaisseaux, que de l'exposer sur un seul. C'est ce que l'on fait au moyen des assurances mutuelles. Si deux personnes, ayant chacune la même somme sur deux vaisseaux différens partis du même port pour la même destination, conviennent de partager également tout l'argent qui leur arrivera, il est clair que par cette convention, chacune d'elles répartit également sur les deux vaisseaux, la somme qu'elle attend. A la vérité, ce genre d'assurances laisse toujours de l'incertitude sur la perte que l'on peut craindre. Mais cette incertitude diminue à mesure que le nombre des associés augmente: l'avantage moral s'accroît de plus en plus, et finit par coïncider avec l'avantage mathématique, sa limite naturelle. Cela rend l'association d'assurances mutuelles, lorsqu'elle est très-nombreuse, plus avantageuse aux assurés, que les compagnies d'assurances qui, à raison du bénéfice qu'elles font, donnent un avantage moral, toujours inférieur à l'avantage mathématique. Mais la surveillance de leur administration peut balancer l'avantage des assurances mutuelles. Tous ces résultats sont, comme on l'a vu précédemment, indépendans de la loi qui exprime l'avantage moral.

On peut envisager un peuple libre, comme une grande association dont les membres se garantissent mutuellement leurs propiétés, en supportant proportionnellement les charges de cette garantie. La confédération de

plusieurs peuples leur donnerait des avantages analogues à ceux que chaque individu retire de la société. Un congrès de leurs représentans discuterait les objets d'une utilité commune à tous; et sans doute, le système des poids, des mesures et des monnaies, proposé par les savans français, serait adopté dans ce congrès, comme une des choses les plus utiles aux relations commerciales.

Parmi les établissemens fondés sur les probabilités de la vie humaine, les meilleurs sont ceux dans lesquels, au moyen d'un léger sacrifice de son revenu, on assure son existence et celle de sa famille pour un temps où l'on doit craindre de ne plus suffire à ses besoins. Autant le jeu est immoral, autant ces établissemens sont avantageux aux mœurs, en favorisant les plus doux penchans de la nature. Le Gouvernement doit donc les encourager et les respecter dans les vicissitudes de la fortune publique ; car les espérances qu'ils présentent, portant sur un avenir éloigné, ils ne peuvent prospérer qu'à l'abri de toute inquiétude sur leur durée. C'est un avantage que l'institution du Gouvernement représentatif leur assure.

Disons un mot des emprunts. Il est clair que pour emprunter en perpétuel, il faut payer, chaque année, le produit du capital par le taux de l'intérêt. Mais on peut vouloir acquitter ce capital, en paiemens égaux faits pendant un nombre déterminé d'années, paiemens l'on nomme annuités, et dont on obtient ainsi la valeur. Chaque annuité, pour être réduite au moment actuel, doit être divisée par une puissance de l'unité augmentée du taux de l'intérêt, égale au nombre des années après lesquelles on doit payer cette annuité. En formant donc une progression géométrique dont le pre

que

mier terme soit l'annuité divisée par l'unité augmentée du taux de l'intérêt, et dont le dernier soit cette annuité divisée par la même quantité élevée à une puissance égale au nombre des années pendant lesquelles le paiement doit avoir lieu, la somme de cette progression sera équivalente au capital emprunté; ce qui détermine la valeur de l'annuité. Une caisse d'amortissement n'est au fond, qu'un moyen de convertir en annuités une rente perpétuelle, avec la seule différence, que dans le cas d'un emprunt par annuités, l'intérêt est supposé constant, au lieu que l'intérêt des rentes acquises par la caisse d'amortissement est variable. S'il était le même dans ces deux cas, l'annuité correspondante aux rentes acquises serait formée de ces rentes, et de ce que l'état donne annuellement à la caisse.

Si l'on veut faire un emprunt viager, on observera que les tables de rentes viagères donnant le capital requis pour constituer une rente viagère, à un âge quelconque, une simple proportion donnera la rente que l'on doit faire à l'individu dont on emprunte un capital. On peut calculer, par ces principes, tous les modes possibles d'emprunt.

Les principes que nous venons d'exposer sur les bénéfices et sur les pertes des établissemens, peuvent servir à déterminer le résultat moyen d'un nombre quelconque d'observations déjà faites, lorsqu'on veut avoir égard aux écarts des résultats correspondans aux diverses observations. Désignons par x la correction du résultat le plus faible, et par x augmenté successivement de q, q', q", etc., les corrections des résultats suivans. Nommons, é', ", etc., les erreurs des observations, dont nous supposerons la loi de probabilité connue. Chaque observation étant une fonction du résultat, il

est facile de voir qu'en supposant très-petite, la correction x de ce résultat, l'erreur de la première observation sera égale au produit de x par un coefficient déterminé. Pareillement l'erreur de la seconde observation sera le produit de la somme q plus x, par un coefficient déterminé, et ainsi du reste. La probabilité de l'erreur étant donnée par une fonction connue, elle sera exprimée par la même fonction du premier des produits précédens. La probabilité de e' sera exprimée par la même fonction du second de ces produits, et ainsi des autres. La probabilité de l'existence simultanée des erreurs, ', ", etc., sera donc proportionnelle au produit de ces diverses fonctions, produit qui sera une fonction de x. Cela posé, si l'on conçoit une courbe dont x soit l'abscisse, et dont l'ordonnée correspondante soit ce produit, cette courbe représentera la probabilité des diverses valeurs de x, dont les limites seront déterminées par les limites des erreurs, é, etc. Maintenant, désignons par X, l'abscisse qu'il faut choisir; X diminué de x, sera l'erreur que l'on commettrait, si l'abscisse x était la véritable correction. Cette erreur multipliée par la probabilité de x ou par l'ordonnée correspondante de la courbe, sera le produit de la perte par sa probabilité; en regardant comme on doit le faire, cette erreur, comme une perte attachée aux choix de X. En multipliant ce produit par la différentielle de x, l'intégrale prise depuis la première extrémité de la courbe, jusqu'à X, sera le désavantage de X, résultant des valeurs de x inférieures à X. Pour les valeurs de x supérieures à X, x moins X serait l'erreur de X, si x était la véritable correction; l'intégrale du produit de x par l'ordonnée, correspondante de la courbe et par la différentielle de x sera donc le désavantage de X, résultant des

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