Des méthodes analytiques du Calcul des Probabilités.

L'application des principes que nous venons d'exposer, aux diverses questions de probabilité, exige des méthodes dont la recherche a donné naissance à plusieurs branches de l'Analyse, et spécialement à la théorie des combinaisons, et au calcul des différences finies.

Si l'on forme le produit des binomes, l'unité plus une première lettre, l'unité plus une seconde lettre, l'unité plus une troisième lettre, et ainsi de suite, jusqu'à n lettres; en retranchant l'unité, de ce produit développé, on aura la somme des combinaisons de toutes ces lettres prises une à une, deux à deux, trois à trois, etc.; chaque combinaison ayant l'unité pour coefficient. Pour avoir le nombre des combinaisons de ces n lettres prises s à s, on observera que si l'on suppose ces lettres égales entre elles, le produit précédent deviendra la puissance n du binome, un plus la première lettre; ainsi le nombre des combinaisons des n lettres prises s à s, sera le coefficient de la puissance s de la première lettre, dans le développement de ce binome; on aura donc ce nombre, par la formule connue du binome.

On aura égard à la situation respective des lettres dans chaque combinaison, en observant que si l'on joint une seconde lettre à la première, on peut la placer au premier et au second rang, ce qui donne deux combinaisons. Si l'on joint à ces combinaisons, une troisième lettre, on peut lui donner dans chaque combinaison, le premier, le second et le troisième rang; ce qui forme trois combinaisons relatives à chacune des deux autres; en tout, six combinaisons. De là il est facile de conclure que le nombre des arrangemens dont s lettres sont sus

ceptibles, est le produit des nombres depuis l'unité jusqu'à s; il faut donc, pour avoir égard à la situation respective des lettres, multiplier par ce produit, le nombre des combinaisons des n lettres prises s à s; ce qui revient à supprimer le dénominateur du coefficient du terme du binome, qui exprime ce nombre.

Imaginons une loterie composée de n numéros dont r sortent à chaque tirage: on demande la probabilité de la sortie des numéros donnés dans un tirage. Pour y parvenir, on formera une fraction dont le dénominateur sera le nombre de tous les cas possibles, ou des combinaisons des n numéros pris r à r, et dont le numé rateur sera le nombre de toutes ces combinaisons qui contiennent les s numéros donnés. Ce dernier nombre est évidemment celui des combinaisons des autres numéros pris n moins s à n moins s. Cette fraction sera la probabilité demandée, et l'on trouvera facilement qu'elle se réduit à une fraction dont le numérateur est le nombre des combinaisons de r numéros pris s à s, et dont le dénominateur est le nombre des combinaisons des n numéros pris 'semblablement s à s. Ainsi, dans la loterie de France, formée, comme on sait, de go numéros dont cinq sortent à chaque tirage, la probabilité de la sortie d'un extrait donné est ou; la loterie devrait 5 donc alors pour l'égalité du jeu, rendre dix-huit fois la mise. Le nombre total des combinaisons deux à deux, de go numéros, est 4005, et celui des combinaisons deux à deux, de cinq numéros, est dix. La probabilité de la sortie d'un ambe donné est donc et la loterie devrait rendre alors quatre cents fois et demie, la mise : elle devrait la rendre 11748 fois pour un terne, 511038 fois pour un quaterne, et 43949268 fois pour un quine. La loterie est loin de faire aux joueurs ces avantages..

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Supposons dans une urne, a boules blanches et b boules noires, et qu'après en avoir extrait une boule, on la remette dans l'urne; on demande la probabilité dans le nombre n de tirages, on amenera m boules que blanches et n moins m boules noires. Il est clair que nombre de cas qui peuvent arriver à chaque tirage est a plus b. Chaque cas du second tirage, pouvant se combiner avec tous les cas du premier, le nombre de cas possibles en deux tirages, est le carré du binome, a plus b. Dans le développement de ce carré, le carré de a exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux fois une boule blanche; le double produit de a par b, exprime le nombre des cas dans lesquels une boule blanche et une boule noire sont amenées; enfin le carré de b exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux boules noires. En continuant ainsi, on voit généralement que la puissance n du binome a plus b, exprime le nombre de tous les cas possibles dans n tirages; et que, dans le développement de cette puissance, le terme multiplié par la puissance m de a, exprime le nombre des cas dans lesquels on peut amener m boules blanches, et n moins m boules noires. En divisant donc ce terme par la puissance entière du binome, on aura la probabilité d'amener m boules blanches et n moins m boules noires. Le rapport des nombres a, et a plus b, étant la probabilité d'amener une boule blanche dans un tirage; et le rapport des nombres b, et a plus b, étant la probabilité d'amener une boule noire; si l'on nomme p et q ces probabilités, la probabilité d'amener m boules blanches, dans n tirages, sera le terme multiplié par la puissance m de p, dans le développement de la puissance n du binome p plus q: on peut observer que la somme p plus q est l'unité. Cette propriété re

marquable du binome, est très-utile dans la théorie des probabilités.

Mais la méthode la plus générale et la plus directe, pour résoudre les questions de probabilité, consiste à les faire dépendre d'équations aux différences. En comparant les états successifs de la fonction qui exprime la probabilité, lorsque l'on fait croitre les variables de leurs différences respectives, la question proposée fournit souvent un rapport très-simple entre ces états. Ce rapport est ce que l'on nomme équation aux differences ordinaires, ou partielles; ordinaires, lorsqu'il n'y a qu'une variable; partielles, lorsqu'il y en a plusieurs. Donnons-en quelques exemples.

Trois joueurs dont les forces sont supposées les mêmes, jouent ensemble aux conditions suivantes. Celui des deux premiers joueurs, qui gagne son adversaire, joue avec le troisième, et s'il le gagne, la partie est finie. S'il est vaincu, le vainqueur joue avec l'autre, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'un des joueurs ait gagné consécutivement les deux autres, ce qui termine la partie : on demande la probabilité que la partie sera finie dans un nombre quelconque n de coups. Cherchons d'abord la probabilité qu'elle finira précisément au coup n. Pour cela, le joueur qui gagne, doit entrer au jeu, au coup n moins un, et le que le gagner ainsi coup suivant. Mais si, au lieu de gagner le coup n moins un, il était vaincu par son adversaire, celui-ci venant de gagner l'autre joueur, la partie finirait à ce coup. Ainsi la babilité qu'un des joueurs entrera au jeu, au coup n moins un, et le gagnera, est égale à celle que la partie finira précisément à ce coup; et comme ce joueur doit gagner le coup suivant, pour que la partie se termine au coup n, la probabilité de ce dernier cas ne sera

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qu'un demi de la précédente. Cette probabilité est évidemment une fonction du nombre n; cette fonction est donc égale à la moitié de la même fonction, lorsqu'on y diminue n, de l'unité. Cette égalité forme une de ces équations que l'on nomme équations aux différences finies ordinaires.

On peut déterminer facilement, à son moyen, la probabilité que la partie finira précisément à un coup quelconque. Il est visible que la partie ne peut finir, au plus tôt, qu'au second coup; et pour cela, cela, il est nécessaire que celui des deux premiers joueurs qui a gagné son adversaire, gagne, au second coup, le troisième joueur; la probabilité que la partie finira à ce coup, est donc De là, en vertu de l'équation précédente, on conclut que les probabilités successives de la fin de la partie, sont pour le troisième coup, pour le quatrième, etc.; et généralement élevé à la puissance n moins un, pour le nième coup. La somme de toutes ces puissances de est l'unité moins la dernière de ces puissances; c'est la probabilité que la partie sera terminée, au plus tard, dans n coups.

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Considérons encore le premier problème un peu diffique l'on ait résolu sur les probabilités, et que Pascal proposa de résoudre, à Fermat. Deux joueurs A et B, dont les adresses sont égales, jouent ensemble avec la condition que celui qui, le premier, aura vaincu l'autre un nombre donné de fois, gagnera la partie, et emportera la somme des mises au jeu : après quelques coups, les joueurs conviennent de se retirer sans avoir terminé la partie; on demande de quelle manière cette somme doit être partagée entre eux. Il est visible que les parts doivent être proportionnelles aux probabilités respectives de gagner la partie; la question se réduit donc à

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