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les démonstrations qu'il jugeait difficiles. La théorie des fonctions génératrices étend à des caractéristiques quelconques, la notation cartésienne : elle montre avec évidence, l'analogie des puissances et des opérations indiquées par ces caractéristiques ; en sorte qu'elle peut encore être envisagée comme le calcul exponentiel des caractéristiques. Tout ce qui concerne les séries et l'intégration des équations aux différences, en découle avec une extrême facilité.

APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS.

Des jeux.

Les combinaisons que les jeux présentent, ont été l'objet des premières recherches sur les probabilités. Dans l'infinie variété de ces combinaisons, plusieurs d'entre elles se prêtent avec facilité au calcul : d'autres exigent des calculs plus difficiles ; et les difficultés croissant à mesure que les combinaisons deviennent plus compliquées, le désir de les surmonter et la curiosité ont excité les géomètres à perfectionner de plus en plus ce genre d'analyse. On a vu précédemment que l'on pouvait facilement déterminer par la théorie des combinaisons, les bénéfices d'une loterie. Mais il est plus difficile de savoir en combien de tirages on peut parier un contre un, par exemple, que tous les numéros seront sortis. n étant le nombre des numéros, r celui des numéros sortans à chaque tirage, et i le nombre inconnu de tirages ; l'expression de la probabilité de la sortie de tous les numéros, dépend de la différence siniè nième de la puissance i d'un produit de r nombres consécutifs. Lorsque le nombre n est considérable, la recherche de la valeur de i, qui rend cette probabilité égale à , devient impossible, à moins qu'on ne convertisse cette différence, dans une série très-convergente. C'est ce que l'on fait heureusement par la méthode ci-dessus indiquée pour les approximations des fonctions de trèsgrands nombres. On trouve ainsi que la loterie étant composée de dix mille numéros dont un seul sort à chaque tirage, il y a du désavantage à parier un contre un, que tous les numéros sortiront dans 95767 tirages, et de l'avantage à faire le même pari pour 95768 tirages. A la loterie de France, ce pari est désavantageux pour 85 tirages, et avantageux pour 86 tirages.

Considérons encore deux joueurs A et B jouant ensemble à croix ou pile, de manière qu'à chaque coup, si croix arrive, A donne un jeton à B qui lui en donne un, si pile arrive : le nombre des jetons de B est limité, celui des jetons de A est illimité; et la partie ne doit finir que lorsque B n'aura plus de jetons. On demande en combien de coups, on peut parier un contre un, que la partie sera terminée. L'expression de la probabilité que la partie sera terminée dans un nombre i de coups, est donnée par une suite qui renferme un grand nombre de termes et de facteurs, si le nombre des jetons de B est considérable ; la recherche de la valeur de l'inconnue i qui rend cette suite égale à , serait donc alors impossible, si l'on ne parvenait pas à réduire la suite dans une série très-convergente. En lui appliquant la méthode dont on vient de parler, on trouve

une expression fort simple de l'inconnue, de laquelle , il résulte que si, par exemple, B a cent jetons, il y a un peu moins d'un contre un à parier que la partie sera finie en 23,80 coups, et un peu plus d'un contre un à parier qu'elle sera finie dans 23781 coups.

Ces deux exemples, joints, à ceux que nous avons déjà donnés, suffisent pour faire voir comment les problèmes sur les jeux ont pu contribuer à la perfection de l’A. nalyse.

Des inégalités inconnues qui peuvent exister entre les

chances que l'on suppose égales.'

Les inégalités de ce genre ont sur les résultats du calcul des probabilités, une influence sensible qui mérite une attention particulière. Considérons le jeu de croix ou pile, et supposons qu'il soit également facile d'amener l'une ou l'autre face de la pièce. Alors la probabilité d'amener croix au premier coup est , et celle de l'amener deux fois de suite, est. Mais s'il existe, dans la pièce, une inégalité qui fasse paraître une des faces plutôt que l'autre, sans que l'on connaisse quelle est la face favorisée par cette inégalité, la probabilité d'amener croix au premier coup sera toujours ; parce que dans l'ignorance où l'on est de la face que cette inégalité favorise, autant la probabilité de l'événement simple est augmentée , si cette inégalité lui est favorable , autant elle est diminuée, si l'inégalité lui est contraire. Mais dans cette ignorance même, la probabilité d'amener croix deux fois de suite, est augmentée. En effet, cette probabilité est celle d'amener croix au premier coup, multipliée par la probabilité que l'ayant amené au premier coup, on l'amenera au second ; or son arrivée au premier coup est un motif de croire que l'inégalité de la pièce le favorise ; l'inégalité inconnue augmente donc alors la probabilité d'amener croix au second coup; elle accroît par conséquent le produit des deux probabilités. Pour soumettre cet objet au calcul, supposons que cette inégalité augmente d'un vingtième, la probabilité de l'événement simple qu'elle favorise. Si cet événement est croix , sa probabilité sera plus oud et la probabilité de l'amener deux fois de suite , sera le carré de ou... Si l'événement favorisé est pile, la probabilité de croix sera ; moins . ou , et la probabilité de l'amener deux fois de suite sera ... Comme on n'a d'avance, aucune raison de croire que l'inégalité favorise l'un de ces événemens plutôt que l'autre, il est clair que pour avoir la probabilité de l'événement composé croix croix, il faut ajouter les deux probabilités précé- . dentes , et prendre la moitié de leur somme; ce qui donne 10 pour cette probabilité qui surpasse 1, de do ou du carré de l'accroissement que l'inégalité ajoute à la possibilité de l'événement qu'elle favorise. La probabilité d'amener pile pile est pareillement 1.6 ; mais les probabilités d'amener croix pile, ou pile croix ne sont chacune, que 2.; car la somme de ces quatre probabilités doit égaler la certitude ou l'unité. On trouve ainsi généralement que les causes constantes et inconnues qui favorisent les événemens simples que l'on juge également possibles , accroissent toujours la probabilité de la répétition d'un même événement simple.

Dans un nombre pair de coups, croix et pile doivent arriver tous deux, ou un nombre pair ou un nombre, impair de fois. La probabilité de chacun de ces cas est }, si les possibilités des deux faces sont égales ; mais s'il existe entre elles une inégalité inconnue, cette inégalité est toujours favorable au premier cas.

Deux joueurs, dont on suppose les adresses égales, jouent avec les conditions qu'à chaque coup, celui qui perd, donne un jeton à son adversaire, et que la partie dure, jusqu'à ce que l'un des joueurs n'ait plus de je

tons. Le calcul des probabilités nous montre que pour l'égalité du jeu , les mises des joueurs doivent être en raison inverse de leurs jetons. Mais s'il existe entre leurs adresses, une petite inégalité inconnue, elle favorise celui des joueurs, qui a le plus petit nombre des jetons. Sa probabilité de gagner la partie augmente, si les joueurs conviennent de doubler, de tripler leurs jetons ; et elle serait { ou la même que la probabilité de l'autre joueur, dans le cas où les nombres de leurs jetons deviendraient infinis, en conservant toujours le même rapport.

On peut corriger l'influence de ces inégalités inconnues, en les soumettant elles-mêmes aux chances du hasard. Ainsi, au jeu de croix ou pile, si l'on a une seconde pièce que l'on projette chaque fois avec la première; et que l'on convienne de nommer constamment croix, la face amenée par cette seconde pièce, la probabilité d'amener croix deux fois de suite, avec la première pièce, approchera beaucoup plus d'un quart, que dans le cas d'une seule pièce. Dans ce dernier cas, la différence est le carré du petit accroissement de possibilité que l'inégalité inconnue donne à la face de la première pièce, qu'elle favorise : dans l'autre cas, cette différence est le quadruple produit de ce carré, par le carré correspondant relatif à la seconde pièce.

Que l'on jette, dans une urne, cent numéros depuis un jusqu'à cent, dans l'ordre de la numération, et qu'après avoir agité l'urne, pour mêler ces numéros, on en tire un ; il est clair que si le mélange a été bien fait, les probabilités de sortie des numéros, seront les mêmes. Mais si l'on craint qu'il n'y ait entre elles, de petites différences dépendantes de l'ordre suivant lequel les numéros ont été jetés dans l'urne, on diminuera

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