CHAPITRE III. Application des méthodes précédentes, à l'approximation de diverses fonctions de très-grands nombres. PARMI les diverses fonctions auxquelles ces méthodes peuvent s'appliquer, je vais considérer les produits des nombres, les développemens des polynomes, et les différences infiniment petites et finies des fonctions, ces diverses quantités étant celles qui se présentent le plus souvent dans l'analyse des hasards. De l'approximation des produits composés d'un grand nombre de facteurs, et des termes des polynomes élevés à de grandes puissances. 33, Proposons-nous d'intégrer l'équation aux différences finies day 0=sqdx.[(1−x).dy+x. dx]; d'où l'on tire en intégrant par parties, suivant la méthode précédente, les deux équations suivantes, 127 et la seconde donne, pour, déterminer les deux limites de l'inté grale fx'.dx, ces limites sont par conséquent xo et x= ∞. Ainsi l'on a y=A.fxdx.c ̄3, l'intégrale étant prise depuis xo jusqu'à x infini, et A étant une constante arbitraire. Pour avoir cette intégrale en série, on déterminera, conformément à la méthode exposée dans le n° 23, la valeur de x, qui rend . c un maximum; cette valeur est s. On fera donc, suivant la méthode citée, x.cs'.c.c-t'. En supposant x=s+8, cette équation devient dx=d9=dt. √2s.(1+34 + + etc.); la fonction fx'.qdx.c deviendra donc 4t 25 12 6.s s'.c ̄'.fdt.c―". V2s. (1+ ++etc.). 3. V 2s L'intégrale relative à x devant être prise depuis x nul jusqu'à x infini, l'intégrale relative à t doit être prise depuis t——∞ jusqu'à t=∞. En intégrant comme dans le n° 30, on aura ¥¿=A.ss+3‚c ̄¦• √27. (1+2+etc. etc.). etc. 12 S On peut déterminer fort simplement le facteur 1+ de cette manière. Désignons-le par ce qui donne 1+++etc.; y1=A.ss+', c~'. √2π. (1+2+~+etc.). En substituant cette valeur de y, dans l'équation proposée Y1+1=(s+1).J.; on aura (1 + 1 ) ou B C • (1+5 + 1+ (5+1) + etc.)=1+-+-+etc., (2 + 3 + + etc.). [c1−(s+i). 10g (1 + 3) — 1] or on a B (B-2C) + 2 — etc.; 1 — (s + :). log (1 + ;) = 1−(8+1). (−1+3 252 ce qui donne, en comparant les puissances semblables de, On déterminera la constante arbitraire, au moyen d'une valeur particulière de y,; en supposant, par exemple, que s étant égal àμ, on ait y,y; on aura Voyons maintenant de quelle nature est la fonction y,. Pour cela, il faut intégrer l'équation aux différences finies on aura donc, en comparant cette expression à la formule (q), (μ+1).(μ+2). (μ+3). . . . . $ Si l'on fait μo, on aura fx dx.c1; partant 1.2.3........s=s3+;.c~'. √2π .(1 + m 1 12. 1 +288.5++ etc. Si l'on fait μ=TM, m étant moindre que n; on aura μπ or on a (s' + + 1). log (1+) = (''++)·(−/+etc.) n ns l'intégrale relative à t étant prise depuis to jusqu'à t infini. En substituant ces valeurs dans la formule (q'), elle donnera ensorte que la valeur approchée du produit des termes de la progression arithmétique m, m+n, m + 2n, etc. dépend des trois transcendantes c, et fi1dt.o-t". Si dans cette équation on fait pour plus de simplicité n=1, ce qui change m en μ, et si l'on observe que st ̄dt.c—'—"},·• St"“dt.c ̄1; on aura (1+μ). (2+μ)........(s'+μ) = En multipliant ces deux équations, l'une par l'autre, on aura |