de ua est, par le n° 2, ▲.y-,; ce même coefficient dans u.a est ▲2.y-, et ainsi de suite. L'équation précédente donnera donc, en repassant des fonctions génératrices aux coefficiens, 4. Voici maintenant une méthode générale d'interpolation, qui a l'avantage de s'appliquer, non-seulement aux séries dont les différences des termes finissent par être nulles, mais encore aux séries dont la dernière raison des termes est celle d'une suite quelconque récurrente. Supposons d'abord que l'on ait t. (} −1)'=z; (1) et cherchons la valeur de dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de z. Il est clair que dans le développement de la fraction est égal au coefficient de 8a 1 Si l'on multiplie le nu mérateur et le dénominateur de cette fraction par 10.t, on aura ce qui change la fraction précédente dans celle-ci, d'ailleurs le coefficient de ' dans le développement de (1—67,, est d'où il suit que le coefficient de 0 est, 1°. i + 1, dans le dévelopi. ( i + 1 ). (i + 2), dans le développement de ment de Ө 02 (1 — 8 )69 1 0)2 ; 2°. 1.2.3 (i − 1). i. (i + 1). (i+2). (i+3), dans le développement de 1.2.3.4.5 et ainsi du reste; donc si l'on nomme Z le coefficient de dans le développement de la fonction + ou Z=i+1+i.(i+1). ( i + 2). % + (i—1).i.(i+1).(i+2). (i+3) 1.2.3 1.2.3.4.5 (i—2). ( i— 1). i. (i+1).(i+2). ( i +3). (i + 4).3+ etc., 1.2.3.4.5.6.7 Z=(i+1).{1+ [(i+1)3—1].z + [(i+1)2—1].[(i+1)3—4].z2 + etc.}; si l'on nomme ensuite Z' le coefficient de 0, dans le développement de on aura Z' en changeant i en i-1 dans Z, ce qui donne Z'=i.{1+ (i-1).z (i−1).(i−4). + +etc.}; 1.2.3.4.5 on aura ainsi Z-t.Z' pour le coefficient de ' dans le développement de la fraction Cela posé, le coefficient det dans est y. Ce même coefficient, dans un terme quelconque de u.Z, tel que k.u.z', ou k.u.t.(; — 1)" est, par le n°. 2, ✯.▲a‚ˆ‚—‚. Dans un terme quelk.A. y. conque de u.t.Z', tel que k.u.t.z' ou k.u.t'+1.(; — 1)", ce coefficient est k. A.y; on aura donc, en repassant des fonctions génératrices à leurs coefficiens, On peut donner les formes suivantes à l'expression précédente.' Soit Z" ce que devient Z' lorsqu'on y change i dans i-1; et par conséquent, ce que devient Z lorsqu'on y change i dans i-2. L'équation En ajoutant ces deux valeurs de, et prenant la moitié de leur somme, on aura }=¦.Z—1.Z"+¦.(1+1). (1). Z'; ==u.{1+—_.t.(−1)+())..(-1)+ etc.} 1.2.3.4 3 1.2.3.4.5 d'où l'on conclut, en repassant des fonctions génératrices aux coefficiens, 2 Cette formule sert à interpoler entre un nombre impair 2x+1 de quantités équidistantes; l'intervalle commun qui les sépare étant pris pour unité, y, est la moyenne des grandeurs yo, Y 1, Y. Yax; et i est la distance de y+ à cette moyenne. L'expression précédente est alors symétrique relativement à ces grandeurs; car A'.y-1, par exemple, est egal à y1+1—2y+Y3—1, et A.y¿+A.y's—ı est égal à y+y. Ainsi les quantités placées au-dessus et audessous de la moyenne y., entrent de la même manière dans cette expression. 1-19 t - 1119 Si l'on change i en i+1 dans la dernière expression de ti et si l'on en retranche cette expression elle-même; on aura l'ex u ti+i ou de. (—1); en divisant ensuite cette + En repassant des fonctions génératrices aux coefficiens, on aura 书号 1.2.3.4.5 Cette formule sert à interpoler entre un nombre pair 2x de quantités équidistantes,y-, et y étant les deux quantités moyennes. Elle est disposée d'une manière symétrique relativement aux quantités également distantes du milieu de l'intervalle qui sépare les quantités extrêmes : ce milieu est l'origine des valeurs de i +1, qui sont positives au-dessus, et négatives au-dessous. Toutes ces expressions de y+i sont identiques, et telles que si l'on conçoit une courbe parabolique dont i soit l'abscisse, et y+i l'ordonnée, et dont l'équation soit celle qui donne l'expression de y+; cette courbe passera par les extrémités des ordonnées Y2,Y=+12 Y = +2, etc.; Ys−1, Y-, etc. On peut ainsi, en prenant les différences finies successives d'un nombre quelconque de coordonnées, faire passer une courbe parabolique par les extrémités de ces coordonnées. éliminant du second membre de cette équation, au moyen de la |