et égal à -i. On peut mettre la fonction (c-1)" sous cette forme or on a trouvé dans le n° 33, par le passage du réel à l'imaginaire, Cette série sera très-convergente, si i-n est peu considérable relativement à s+; elle peut d'ailleurs être employée dans le cas où i est fractionnaire, comme il est facile de s'en convaincre. Quant au produit (i—n+1). (i—n+2)....i, il est facile de l'obtenir en série convergente, par le n° 32. La formule précédente est une application très - simple de l'équation que nous avons donnée dans le n° 10; car en développant le second membre de cette équation, et faisant y,=s', on obtient directement cette formule que nous avons conclue des passages du réel à l'imaginaire ; ce qui confirme la justesse de ces passages. 41. Les formules (') et (u") des numéros précédens, supposent n égal ou moindre que i. En effet, si l'on considère l'expression dx.c-sx dx.c Sdr. dont le développement a produit ces formules; on voit que les limites des intégrales du numérateur et du dénominateur étant déterminées par le numéro précédent, en égalant à zéro le produit des quantités sous le signe intégral, par x; ces limites seront toutes imaginaires, lorsque i sera plus grand que n; au lieu que dans le cas où i sera moindre que n, les limites de l'intégrale du numérateur seront réelles, tandis que celles du dénominateur seront imaginaires; il faut donc alors ramener ces dernières limites à l'état réel. Pour y parvenir, nous observerons que l'on a généralement Si l'on fait dans cette expression, i négatif et égal à m étant moindre que n; on aura or on a par le n° 32, les intégrales étant prises depuis x nul jusqu'à dx.c ¿ étant ici positif : c'est l'expression de dont on doit faire usage dans le cas que nous examinons ici. Si l'on fait x=t", et l'équation (T) du n° 24 donne, en y changeant r dans m+1, d'où l'on tire, en substituant cette valeur dans l'expression précédente de A*.si, les intégrales étant prises depuis x nul jusqu'à x infini. Le procedé qui vient de nous conduire à cette équation, est fondé sur les passages réciproques du réel à l'imaginaire ; mais on peut y parvenir directement par l'analyse suivante qui confirmera ainsi la justesse de ces passages. or on a généralement, lorsque a est infiniment petit, fétant zéro ou un nombre entier positif; car si l'on développe c-sa en série, et que l'on désigne par k.a.s' un terme quelconque de cette série, on aura En effet, si q surpasse f, ce terme devient nul par la supposition de a infiniment petit. Si q est égal ou moindre que f, q+rf sera égal ou moindre que r, et par conséquent, il sera plus petit que n; et alors, par la propriété connue des différences finies, A".s+f dx.cs. (c-*- })" sera nul. Il suit de là que ▲".fd.c dx.c-sx ou l'intégrale étant prise depuis x nul jusqu'à x infini. Si l'on fait les intégrales étant prises depuis x et x' nuls jusqu'à x et x' infinis; En substituant pour (1+). (2+).......... i, sa valeur et observant que l'on a par ce qui précède, fx'dx.c-x m fx" dx.c Si i est un très-grand nombre, on aura par le n° 32, l'intégrale fx dx.c; on aura ensuite par ce qui précède, l'intégrale fdx.c.(c――1)"; ainsi l'on obtiendra, par une série très-conver gente, la valeur du second membre de la formule citée. m Supposons i infiniment petit, r sera nul, et sera une fraction infiniment petite, on aura donc expression que l'on réduira facilement en série convergente, lorsque n est un grand nombre. 42. On a souvent besoin, dans l'analyse des hasards, de ne considérer dans l'expression de A".s', que la partie dans laquelle les quantités élevées à la puissance i sont positives. Nous allons déterminer la somme de tous ces termes. Pour cela, reprenons |