le dernier membre de l'équation se réduit à cette constante. Dans ce cas, le premier devient Mais on a, comme on sait, sans l'exclusion des puissances des quantités négatives, n"—n. (n—2)" + etc....n. (2n)"=(—n)"=1.2.3........n.2", le signe supérieur ayant lieu si n est pair, et le signe inférieur si n est impair. Dans les deux cas, on voit que la somme des termes dans lesquels les quantités élevées à la puissance n sont négatives, est égale à la somme des autres termes; on a donc, avec l'exclusion des puissances des quantités négatives, En intégrant de nouveau cette expression, et déterminant convenablement la constante arbitraire, on trouve 43. On peut étendre les méthodes précédentes à la détermination de la difference nieme d'une puissance quelconque d'une fonction rationnelle de s. Il suffit pour cela de réduire par la méthode du n° 29, cette fonction à la forme fx.qdx. Mais on a vu qu'alors 172 on parvient pour déterminer, à une équation différentielle d'un degré égal au plus haut exposant de s dans cette fonction, et qui le plus souvent n'est pas intégrable. On peut obvier à cet inconvénient, au moyen de multiples intégrales, de la manière suivante. Considérons généralement la fonction 1 Si dans l'intégrale sxi-1dx.ç-(+)., prise depuis x nul jusqu'à x infini, on change (s+p).x en x', elle devient (s+p)i•sx'i—'dx'.c¬~′, la nouvelle intégrale étant prise dans les limites qui la précèdent. La comparaison des deux intégrales donnera (s+p)'. (s+p')"' . (s+p")i" . etc. fxi-1‚x'i'-1. x"ì”—1. etc. dx . dx'. dx". etc. c-p—p'xl—px"—etc.—s(x+x(+x"+etc.) fxi-1dx.c ̄2.fx'i—1dx'.c ̄¤1‚sx"i"—1dx". .etc. toutes les intégrales étant prises depuis x, x', x", etc. nuls jusqu'à leurs valeurs infinies; on aura donc A". 1 '(s+p)'.(s+p')"'.etc. tc:—1)": .x'i-1.etc.dx.dx'.etc.cpp''—etc.—s (x+x'+etc.). (c-x-x-etc.—1)” On réduira facilement en séries convergentes, par la méthode du n° 40, le numérateur et le dénominateur de cette expression; et si l'on change dans ces séries, les signes de i, i', etc.; on aura la valeur très-approchée de A".(s+p)'. (s+p')". etc., n, i, i', etc. étant supposés de très-grands nombres. On trouvera par le numéro cité, Le cas le plus ordinaire est celui dans lequel les exposans i, i', i", etc. sont égaux, et s+p, s+p', etc. forment une progression arithmétique. On peut obtenir alors, par la méthode suivante, la différence finie de leur produit élevé à une haute puissance. Considérons la différence A".(s.s-1). Si l'on fait ss'+, elle devient En développant cette fonction en série, on a slai-2+ i. (i—1) ̧ Aa. s'ai—4—etc. 1.2.42 Les formules du no 40 donneront la valeur approchée de chacun des termes de cette série, et l'on voit, par ces formules, que n et i étant de très-grands nombres, A".si- est d'un ordre moindre de deux unités, que ▲".s"; d'où il suit que chaque terme de la série précédente est d'un ordre inférieur d'une unité, à celui qui le précède; ce qui montre la convergence de la série. On arriverait au même résultat en résolvant par approximation, l'équation différentielle du second ordre en o, à laquelle conduit la méthode du n° 29. Lorsqu'on suppose on a 2is. fc="2 .4dx=(s''—'—') · Sc="2.x@dx. En faisant disparaître s' des coefficiens de cette équation, par la méthode citée, dans les termes affectés du signe intégral; égalant ensuite à zéro, la somme de ces termes, et supposant ensuite dans l'équation différentielle que l'on obtient ainsi, égal à une suite ascendante par rapport aux puissances de x; on aura une série convergente. On aura ensuite "A". (s'^ — — ) ̄` ' = ƒc—"2. (c—-—1)". ¢dx ; d'où l'on tirera une valeur en série de A".(s'—-), et dans laquelle il suffira de changer le signe de i, pour avoir la valeur de A". ('-4). Cette manière de résoudre par approximation, l'équation différentielle en, et que nous avons indiquée à la fin du n° 3o, peut servir dans un grand nombre de cas où cette équation n'est pas intégrable exactement, Remarque générale sur la convergence des séries. 44. Nous terminerons cette Introduction, par une observation importante sur la convergence des séries dont nous avons fait un şi fréquent usage. Ces séries convergent très-rapidement dans leurs premiers termes; mais souvent cette convergence diminue et finit par se changer en divergence. Elle ne doit pas empêcher l'usage de ces séries, en n'employant que leurs premiers termes, dans lesquels la convergence est rapide; car le reste de la série, que l'on né¬ glige, est le développement d'une fonction algébrique ou intégrale, très-petite par rapport à ce qui précède. Pour rendre cela sensible par un exemple, considérons le développement en série, de l'intégrale fdt.c-", prise depuis t=T jusqu'à t infini. On a, par le n° 27, Cette série finit par être divergente, quelque grande que soit la valeur que l'on suppose à T; mais alors on peut employer sans erreur sensible, ses premiers termes. En effet, si l'on considère, par exemple, ses quatre premiers termes, le reste de la série sera 1.3.5.7. fdt."; or cette quantité, abstraction faite du signe, En déterminant la constante, de manière que l'intégrale soit nulle, CT2 lorsque t T, on aura pour cette constante; on aura donc, יT en prenant l'intégrale depuis t=T, jusqu'à t infiui, La série précédente peut donc être employée, tant qu'elle est convergente; puisque l'on est sûr que ce que l'on néglige, est au-dessous du terme auquel on s'arrête. Cette série jouit encore de cette propriété, savoir, qu'elle est alternativement plus grande et plus petite que sa valeur entière suivant que l'on s'arrête à un terme positif, ou à un terme négatif. On peut nommer par cette raison, ce genre de séries, séries-limites: Au reste, on a vu dans le n° 27, que dans le cas où elles sont divergentes; on peut, en les réduisant en fractions continues, obtenir des approximations toujours convergentes. Ce que nous venons de dire sur la série précédente, peut s'étendre à toutes celles que nous avons considérées, et doit ôter toute inquiétude sur les usages que nous en avons faits. En effet, on peut toujours arrêter ces séries au point où elles cessent d'être conver |