la probabilité que l'ayant amené au premier coup, on l'amènera au second; or son arrivée au premier coup, est un motif de croire que l'inégalité de la pièce, la favorise; elle augmente donc la probabilite de l'amener au second; ainsi le produit des deux probabilités est accru par cette inégalité. Pour soumettre cet objet au calcul, supposons que l'inégalité de la pente accroisse de la quantité a, la probabilité de l'événement simple qu'elle favorise. Si cet événement est croix, la probabilité sera+a, et la probabilité de l'amener deux fois de suite sera (+a)2. Si l'événement favorisé est pile, la probabilité de croix sera-a, et la probabilité de l'amener deux fois de suite sera (-a). Comme on n'a d'avance, aucune raison de croire que l'inégalité favorise plutôt l'un que l'autre des événemens simples, il est clair que pour avoir la probabilité de l'événement composé croix-croix, il faut ajouter les deux probabilités précédentes, et prendre la moitié de leur somme, ce qui donne +a pour cette probabilité : c'est aussi la probabilité de pile-pile. On trouvera par le même raisonnement, que la probabilité de l'événement composé croix-pile ou pile-croix, est — a2; par conséquent, elle est moindre que celle de la répétition du même événement simple.

Les considérations précédentes peuvent être étendues à des événemens quelconques. p représentant la probabilité d'un événement simple, et 1-p celle de l'autre événement; si l'on désigne par P, la probabilité d'un résultat relatif à ces événemens, et que l'on suppose que p soit réellement pa, a etant une quantité inconainsi que le signe qui l'affecte; la probabilité P du résultat

nue,

En faisant P=p", c'est-à-dire en supposant que le résultat relatif aux événemens, soit n fois la répétition du premier; la probabilité P deviendra

Ainsi l'erreur inconnue que l'on peut supposer dans la probabilité

des événemens simples, accroît toujours la probabilité des événemens composés de la répétition du même événement.

c'est-à-dire, lessen 'n inter

- lorsqu'on rose Eu partie.

2. La probabilité des événemens sert à déterminer l'espérance et la crainte des personnes intéressées à leur existence. Le mot espérance a diverses acceptions; il exprime généralement l'avantage de celui qui attend un bien quelconque, dans une supposition qui n'est que vraisemblable. Dans la théorie des hasards, cet avantage est le produit de la somme espérée, par la probabilité de l'obtenir : c'est la somme partielle qui doit revenir, lorsqu'on ne veut point courir les risques de l'événement, en supposant que la répartition de la somme entière se fasse proportionnellement aux probabilités. Cette manière de la répartir, est la seule équitable, quand on fait abstraction de toute circonstance étrangère; parce qu'avec un égal degré de probabilité, on a un droit égal sur la somme espérée. Nous nommerons cet avantage, espérance mathé– `matique, pour le distinguer de l'espérance morale qui dépend, comme lui, du bien espéré et de la probabilité de l'obtenir, mais qui se règle encore sur mille circonstances variables qu'il est presque toujours impossible de définir, et plus encore, d'assujétir au calcul. Ces circonstances, il est vrai, ne faisant qu'augmenter ou diminuer la valeur du bien espéré, on peut considérer l'espérance morale elle-même comme le produit de cette valeur, par la probabilité de l'obtenir; mais on doit alors distinguer dans le bien esperé, sa valeur relative, de sa valeur absolue : celle-ci est indépendante des motifs qui le font desirer, au lieu que la première croît avec ces motifs.

On ne peut donner de règle générale pour apprécier cette valeur relative; cependant il est naturel de supposer la valeur relative d'une somme infiniment petite, en raison directe de sa valeur absolue, en raison inverse du bien total de la personne intéressée. En effet, il est clair qu'un franc a très-peu de prix pour celui qui en possède un grand nombre, et que la manière la plus naturelle d'estimer sa valeur relative, est de la supposer en raison inverse de ce nombre.

Tels sont les principes généraux de l'analyse des probabilités.

Nous allons maintenant les appliquer aux questions les plus délicates et les plus difficiles de cette analyse. Mais pour mettre de l'ordre dans cette matière, nous traiterons d'abord les questions dans lesquelles les probabilités des événemens simples, sont données; nous considérerons ensuite celles dans lesquelles ces possibilités sont inconnues, et doivent être déterminées par les événemens observés.

CHAPITRE II.

De la probabilité des événemens composés d'événemens simples dont les possibilités respectives sont données.

3. Si l'on développe le produit (1+p).(1+p').(1+p′′). etc. composé de n facteurs.; ce développement renfermera toutes les combinaisons possibles des n lettres p, p', p", ...p("-"), prises une à une, deux à deux, trois à trois, etc. jusqu'à n; et chaque combinaison aura pour coefficient l'unité. Ainsi la combinaison pp'p" résultant du produit (1+p). (1+p'). (1+p'), multiplié par le terme 1 du développement des autres facteurs; son coefficient est évidemment l'unité. Maintenant, pour avoir le nombre total des combinaisons den lettres prises x à x; on observera que chacune de ces combinaisons devient p, lorsqu'on suppose p', p", etc. égaux à p. Alors le produit des n facteurs précédens se change dans le binome (1+p)"; or le coefficient de p* dans le développement de ce binome, est

cette quantité exprime donc le nombre des combinaisons des n lettres prises x à x. On aura le nombre total des combinaisons de ces lettres, prises une à une, deux à deux, etc. jusqu'à n à n, en faisant p1, dans le binome (1+p)", et en retranchant l'unité; ce qui donne 2"-1 pour ce nombre.

Supposons que dans chaque combinaison, on ait égard non-seulement au nombre des lettres, mais encore à leur situation; on déterminera le nombre des combinaisons, en observant que dans la combinaison de deux lettres, pp', on peut mettre p' à la seconde

place, et ensuite à la première ; ce qui donne les deux combinaisons pp', p'p. En introduisant ensuite une nouvelle lettre p" dans chacune de ces combinaisons, on peut la mettre à la première, à la seconde ou à la troisième place; ce qui donne 2.3 combinaisons. En continuant ainsi, on voit que dans une combinaison de x lettres, on peut leur donner 1.2.3....x situations différentes; d'où il suit que le nombre total des combinaisons de n lettres, prises xà x, étant par ce qui précède,

n. (n−1). (n—2).............(n−x+1)

1.2.3......x

le nombre total des combinaisons, lorsqu'on a égard à la différente situation des lettres, sera cette même fonction, en supprimant son dénominateur.

On peut facilement, au moyen de ces formules, déterminer les bénéfices des loteries. Supposons que le nombre des numéros d'une laterie, soit n, et qu'il en sorter à chaque tirage; on veut avoir la probabilité qu'une combinaison de s de ces numéros, sortira au premier tirage.

Le nombre total des combinaisons des numéros, pris r à r, est par ce qui précède,

Pour avoir parmi ces combinaisons, le nombre de celles dans lesquelles les s numéros sont compris, on observera que si l'on retranche ces numéros de la totalité des numéros, et que l'on combine rs à rs, le restens, le nombre de ces combinaisons sera le nombre cherché; car il est clair qu'en ajoutant les s numéros à chacune de ces combinaisons, on aura les combinaisons ràr des numéros dans lesquelles sont ces s numéros. Ce nombre est donc

(n—s). (n—s—1). . . . (n—r+1);
1.2.3....(-s)

en le divisant par le nombre total des combinaisons r à r des n numéros, on aura pour la probabilité cherchée,