on aura donc 1.2.3...(x+1) 1.2.3...(x—1).1.2.3... ¿'p* ·(q+r+etc.)'.(p+q+r+etc.)='+="+etc.—■—i+1; (a) pour le nombre des cas dans lesquels l'événement peut arriver précisément au tirage x+i. Il faut cependant en exclure les cas dans lesquels q est élevé à la puissance x', ceux dans lesquels r est élevé à la puissance x", etc.; car dans tous ces cas, il est déjà arrivé au tirage x +i-1, ou x' boules noires, ou x" boules rouges, ou etc. Ainsi dans le développement du polynome (g+r+etc.)', il ne faut avoir égard qu'aux termes multipliés par qf...etc., dans lesquels ƒ est moindre que x', f' est moindre que x", f" est moindre que x", etc. Le terme multiplié par q..s“.etc., dans ce développement, est 1.2.5....i 1. 2. 3. . .f. 1.2.3. . . ƒ'. 1.2.3... f". etc. q.r".sm.etc. Tous les termes que l'on doit considérer dans la fonction (a) sont donc représentés par 1.2.3...(x+f+f'+etc.—1) .p.q.r.etc. × (p+q+r+etc.)='+"+etc.—f-fl-etc.-n+1; (b) parce que i est égal à ƒ+ƒ'+ etc. Ainsi en donnant dans cette dernière fonction, à f toutes les valeurs entières, depuis f=0 jusqu'à ƒ=x'—1; à f' toutes les valeurs depuis ƒ'—o jusqu'à ƒ'=x"—1, et ainsi de suite, la somme de tous ces termes exprimera le nombre des cas dans lesquels l'événement proposé peut arriver dans x+x+etc.-n+1 tirages. Il faut diviser cette somme par le nombre de tous les cas possibles, c'est-à-dire par (p+q+r+etc.)+'+"+etc.—n+1. Si l'on désigne par p' la probabilité de tirer une boule blanche d'une quelconque des urnes; par q' celle d'en tirer une boule noire; par celle d'en tirer une boule rouge, etc.; on aura la fonction (6) divisée par (p+q+r+ etc.)2+≈'+etc―n+1, devien dra ainsi, 1.2.3....(x+ƒ+ƒ'+etc.—1) .pl.q'f.r'.etc. La somme des termes que l'on obtiendra en donnant à ƒ toutes les valeurs depuis ƒ=o jusqu'à ƒ=x'— 1; à ƒ' toutes les valeurs depuis f'o jusqu'à ƒ'=x"— 1, etc., sera la probabilité cherchée d'amener x boules blanches avant x' boules noires, ou " boules rouges, ou etc. On peut, d'après cette analyse, déterminer le sort d'un nombre n de joueurs A, B, C, etc., dont p', q', r', etc. représentent les adresses respectives, c'est-à-dire, leurs probabilités de gagner un coup, lorsque pour gagner la partie, il manque x coups au joueur A, coups au joueur B, x" coups au joueur C, et ainsi de suite; car il est clair que relativement au joueur A, cela revient à déterminer la probabilité d'amener x boules blanches avant x' boules noires, ou x" boules rouges, etc.; en tirant successivement une boule d'un nombre x+x+x"+ etc.— n + 1 d'urnes qui renferment chacune p boules blanches, q boules noires, r boules rouges, etc., p, q, r, etc. étant respectivement égaux aux numérateurs des fractions p', q', r', etc. réduites au même dénomi nateur. 8. Le problème précédent peut être résolu d'une manière fort simple, par l'analyse des fonctions génératrices. Nommons yx,,, etc. . la probabilité du joueur A pour gagner la partie. Au coup suivant, cette probabilité se change dans y-1,,,etc. si 4 gagne ce coup, et la probabilité pour cela est p'. La même probabilité se change dans Y1,21—1,x/l, etc. > si le coup est gagné par le joueur B, et la probabilité pour cela est q'; elle se change dans y,,x/-1, etc. si le coup est gagné par le joueur C, et la probabilité pour cela est r', et ainsi de suite; on a donc l'équation aux différences partielles, Y =, z1‚all, etc. =p1•Yz—1,21,21, etc.+9′ •Y 2,2-1, 21, etc. +r'.yz, 21, 21-1, etc. etc. Soitu une fonction de t, t', t", etc., telle que yz,,, etc., soit le coefficient de t.t.t" etc. dans son développement; l'équation A précédente aux différences partielles donnera, en passant des coeff→ ciens aux fonctions génératrices, Maintenant le coefficient de t.t.t". etc. dansest yx,1,1, etc. J. et le même coefficient dans un terme quelconque du dernier membre de l'équation précédente, tel que ku.p'.t".t".etc., est kp'yo,-,-, etc.; la quantité yo,-,-, etc. est égale à l'unité, puisqu'alors il ne manque aucun coup au joueur A. De plus, il faut rejeter toutes les valeurs de yo,—‚—l, etc. dans lesquelles l' est égal ou plus grand que x', l' est égal ou plus grand que x", et ainsi de suite; parce que ces termes ne peuvent être donnés par l'équation aux différences partielles, la partie étant finie, lorsque l'un quelconque des joueurs B, C, etc. n'a plus de coups à jouer; il ne faut donc considérer dans le dernier membre de l'équation précédente, que les puissances de t' moindres que x', que les puissances de moindres que x", etc. L'expression précédente de donnera ainsi, en repassant des fonctions génératrices aux coefficiens, u pourvu que l'on rejette les termes dans lesquels la puissance de q surpasse x1, ceux dans lesquels la puissance de surpasse 1, etc. Le second membre de cette équation se développe dans une suite de termes compris dans la formule générale 1.2.3...(x+ƒ+f'+etc.-1) 1.2.3...(x—1).1.2.3...f.1.2.3... f. etc. P.q'f.r'"' .etc. La somme de ces termes relatifs à toutes les valeurs de ƒ, depuis f nul jusqu'à ƒ=x-1; à toutes les valeurs de f', depuis f' nul jusqu'à f'=x" — — 1, etc., sera la probabilité y,,, etc.; ce qui est conforme à ce qui précède. Dans le cas de deux joueurs A et B, on aura pour la probabilité du joueur A, x. p' * . { 1 + x.q' + = (x + 1), q'. ... +x · (x+1). (x+2). . . . (x+x′—2) 1.2 1.2.3...(x-1) En changeant p' en q', et x en x', et réciproquement, on aura q'=' . { 1+x' .p'+x' . (x2 + 1), p'....+ ' +' x'′. (x′+1). (x'′+2)....(x+x'—2), p'=-1} 1.2 1.2.3....(1) pour la probabilité que le joueur B gagnera la partie. La somme de ces deux expressions doit être égale à l'unité; ce que l'on voit évidemment en leur donnant les formes suivantes. La première expression peut, par le n° 37 du premier Livre, être transformée dans celle-ci, et la seconde peut être transformée dans celle-ci, La somme de ces expressions est le développement du binome (p'+q')+'-', et par conséquent elle est égale à l'unité; parce que A ou B devant gagner chaque coup, la somme p'+q' de leurs probabilités pour cela, est l'unité. Le problème que nous venons de résoudre, est celui que l'on nomme problème des partis dans l'analyse des hasards. Le chevalier de Meré le proposa à Pascal, avec quelques-autres problèmes sur le jeu des dés. Deux joueurs dont les adresses sont égales, ont mis au jeu la même somme; ils doivent jouer jusqu'à ce que l'un d'eux ait gagné un nombre de fois donné, son adversaire; mais ils conviennent de quitter le jeu, lorsqu'il manque encore x points au premier joueur pour atteindre ce nombre donné, et lorsqu'il manque x' points au second joueur. On demande de quelle manière ils doivent se partager la somme mise au jeu. Tel est le problème que Pascal résolut au moyen de son triangle arithmétique. Il le proposa à Fermat qui en donna la solution par la voie des combinaisons; ce qui occasionna entre ces deux grands géomètres une discussion, à la suite de laquelle Pascal reconnut la bonté de la méthode de Fermat, pour un nombre quelconque de joueurs. Malheureusement nous n'avons qu'une partie de leur correspondance, dans laquelle on voit les premiers élémens de la théorie des probabilités, et leur application à l'un des problèmes les plus curieux de cette théorie. Le problème proposé par Pascal à Fermat, revient à déterminer les probabilités respectives des joueurs pour gagner la partie; car il est clair que l'enjeu doit être partagé entre les joueurs, proportionnellement à leurs probabilités. Ces probabilités sont les mêmes que celles de deux joueurs A et B, qui doivent atteindre un nombre donné de points, x étant le nombre de ceux qui manquent au joueur Д, et x' étant le nombre de ceux qui manquent au joueur B, en imaginant une urne renfermant deux boules dont l'une est blanche et l'autre est noire, toutes deux portant le n° 1, la boule blanche étant pour le joueur A, et la boule noire pour le joueur B. On tire successivement une de ces boules, et on la remet dans l'urne après chaque tirage. En nommant y., la probabilité que le joueur A atteindra le premier, le nombre donné de points, ou, ce qui revient au même, qu'il aura x points ayant que B en ait |