répond à =0; ce qui donne 1 pour ce maximum. La fonction décroît ensuite avec une extrême rapidité, et dans l'intervalle où elle a une valeur sensible, on peut supposer log+log (1-4) = log ——. Q", +log ( log sin log = log (cos )+si+= (b+2i+1).log(1.0.0+) ce qui donne, en négligeant les sixièmes puissances de , et ses quatrièmes puissances qui ne sont pas multipliées par b+2i+1, = Cette dernière intégrale peut être prise depuis jusqu'à infini; car elle doit être prise depuis o jusqu'à π; or a* étant un nombre considérable, c-a'' devient excessivement petit, lorsqu'on y fait, ensorte qu'on peut le supposer nul, vu l'extrême rapidité avec laquelle cette exponentielle diminue, lorsque augmente. Maintenant on a d db sin lọ.c—a1q' =ƒdq. (1—2.9). c on a d'ailleurs par le n° 26 du premier Livre, ・cos bo.c-a'q'; cos bq Ainsi la probabilité que A gagnera la partie dans le nombre b+2i de coups, est T.c-T 1- - . [Sat.c" - T. (1-{T)], l'intégrale étant prise depuis t nul jusqu'à t=T, T' étant égal Si l'on cherche le nombre des coups dans lesquels on peut parier un contre un que cela aura lieu, on fera cette probabilité égale à, ce qui donne q étant de l'ordre. L'intégrale fat.c" sera augmentée à très Pour déterminer la valeur de 7', nous observerons qu'ici T' est plus petit que; ainsi l'équation transcendante et intégrale Il y a donc alors du désavantage à parier un contre un, que A gagnera la partie dans 23780 coups, mais il y a de l'avantage à parier qu'il la gagnera dans 23781 coups, 11. Un nombre n+1 de joueurs jouent ensemble aux conditions suivantes. Deux d'entre eux jouent d'abord, et celui qui perd se retire après avoir mis un franc au jeu, pour n'y rentrer qu'après que tous les autres joueurs ont joué; ce qui a lieu généralement pour tous les joueurs qui perdent, et qui par là deviennent les derniers. Celui des deux premiers joueurs qui a gagné, joue avec le troisième, et s'il le gagne, il continue de jouer avec le quatrième, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il perde, ou jusqu'à ce qu'il ait gagné successivement tous les joueurs. Dans ce dernier cas, la partie est finie. Mais si le joueur gagnant au premier coup, est vaincu par l'un des autres joueurs, le vainqueur joue avec le joueur suivant, et continue de jouer jusqu'à ce qu'il soit vaincu, ou jusqu'à ce qu'il ait gagné de suite tous les joueurs; le jeu continue ainsi jusqu'à ce qu'il y ait un joueur qui gagne de suite tous les autres, ce qui finit la partie, et alors le joueur qui la gagne, emporte tout ce qui a été mis au jeu. Cela posé, P 2" Déterminons d'abord la probabilité que le jeu finira précisément au coup x; nommons z, cette probabilité. Pour que la partie finisse au coup x, il faut que le joueur qui entre au jeu au coup x-n+1, gagne ce coup et les n-1 coups suivans; or il peut entrer contre un joueur qui n'a gagné qu'un seul coup: en nommant P la pro-, babilité de cet événement, sera la probabilité correspondante que la partie finira au coup x. Mais la probabilité z.-, que la partie finira au coup x-1, est évidemment Car il est nécessaire pour cela qu'il y ait un joueur qui ait gagné un coup, au coup xn+1, et qui jouant à ce coup, le gagne et les 2 coups suivans; et la probabilité de chacun de ces événemens étant P et 2, la probabilité de l'événement composé sera; on aura 1 P 27-1 P est donc la probabilité que la partie finira au coup x, relative à ce cas. Si le joueur qui entre au jeu au coup x-n+1, joue à ce coup contre un joueur qui a déjà gagné deux coups; en nommant P' la P' probabilité de ce cas, sera la probabilité relative à ce cas, que la 2" car pour que la partie finisse au coup x2, il faut qu'au coup xn+1, l'un des joueurs ait déjà gagné deux coups, et qu'il gagne ce coup et les n-3 coups suivans. On a donc P' .z.-, est donc la probabilité que la partie finira au coup x, relative à ce cas; et ainsi de suite. En rassemblant toutes ces probabilités partielles, on aura La fonction génératrice de z, est, par le premier Livre, 1 1 au plus tôt qu'au coup n, et que la probabilité pour cela est ; car il faut que le vainqueur au premier coup, gagne les n—1 coups suivans; ↓(t) ne doit donc renfermer que la puissance n de t, et doit être le coefficient de cette puissance; ce qui donne ↓ (t) = ainsi la fonction génératrice de z, est La somme des coefficiens des puissances de t jusqu'à l'infini, dans le développement de cette fonction, est la probabilité que la partie |