de la quantité (o) dans le suivant,

et dans les autres termes, il faut changer (-a)', dans (-a)ms. Représentons généralement par Z-), la quantité (o); le coeffi

cient de 6', dans le développement de la fraction

1

sera

on aura donc pour le coefficient de 0, dans le développement de la première fraction de la page 21, ou pour la valeur de,

Présentement, si l'on désigne par v.y, la quantité

(A)

par v'.y, ce que devient v.y, lorsqu'on y change y, dans v.Y=; par v3.y, ce que devient v.y, lorsqu'on y change v.y, dans

v2.y., et ainsi de suite. Il est visible par le n° 2, que le coefficient

u.zs

det dans le développement de sera v'.y+; en multipliant

donc l'équation précédente par u, et en ne considérant dans chaque terme que le coefficient de t, c'est-à-dire, en repassant des fonctions génératrices aux coefficiens; on aura

Ys+i= y; · [b.Z++c.Z++e. Z. +3...
Yx

i-2n

·+q.

(B)

Cette formule servira à interpoler les suites dont la dernière raison des termes est celle d'une suite récurrente; car il est clair que dans ce cas, v.y, Vy, etc. vont toujours en diminuant, et finissent par être nuls dans l'infini.

x + i

6. La formule (B) s'arrête lorsque l'on a v'.yo, r étant un nombre entier positif quelconque ; et alors l'expression précédente de y devient l'intégrale de l'équation aux différences finies vyo; ce qui est analogue à ce qu'on a vu dans le n° 3. relativement à l'équation A'.yo. Supposons v.yo, ou, ce qui revient au même,

=

oa.yib.yi++ C.Yi+2···· + q • Yi+x;

si l'on fait x nul dans la formule (B) du numéro précédent, elle

Yo, Y., Y....Y- sont les n premières valeurs de y; ce sont les In constantes arbitraires que l'intégrale de l'équation v.Yi = 0 introduit.

Ainsi

étant égal à a. (0—a). (0—a).(-a). etc.; le premier de

En changeant successivement dans le second membre de cette équation, a en a', a", etc., et réciproquement; on aura autant de termes qui, ajoutés au précédent, formeront l'expression complète de y..

Nommons k la fonction comprise entre les deux parenthèses, ensorte que ce second membre soit

k

Si les deux racines

dv

de

a et a' sont égales, sera de cette forme (-a). L. On supposera que a et a', au lieu d'être rigoureusement égaux, different infiniment peu, et que l'on a a'a+da. Alors la somme des deux termes de y, relatifs aux racines a et a' sera

k'étant ce que devient k lorsqu'on y change a en a'; L et L' étant ici, ce que devient L lorsqu'on y change 0 en a et a'. Cette quantité est donc égale à

mais on a

k

d.

O devant être changé en a après les différentiations. La somme des termes de l'expression de y;, relatifs aux deux racines égales est donc

-

d 1.2.da

On trouvera de la même manière, que si contient trois facteurs égaux, la somme des termes de l'expression de y relatifs à ces trois facteurs est

et ainsi de suite. Z étant, par ce qui précède, le coefficient de 01 dans le développement de; il en résulte que y; est le coefficient de 0 dans le développement de la fonction

Cette fonction est donc la fonction génératrice de y, ou de la variable principale de l'équation aux différences v.y1 = o. La `formule (B) du n° précédent, donnera pareillement la valeur de y, ou l'intégrale complète de l'équation aux différences v.y=0: Yo, ▼•Yo; Y1, ▼ ·Y 1; • · · ·Y n−1, V.ya- seront les 2n arbitraires de cette intégrale. Le cas des racines égales se résoudra de la même manière que ci-dessus. On aura par la même formule, l'intégrale des équations aux différences v3.y1 = 0, 'V^.y1o, etc., ce qui montre l'analogie qui existe entre l'interpolation des suites et l'intégration des équations aux différences.

Soit yyy", et supposons que u' soit la fonction généra

trice de y', et u" celle de y", u étant celle de y; on aura uu+u". Soit encore

u"=;,

z ayant la signification que nous lui avons donnée dans le n° 5; et nommons X, le coefficient de tť dans le développement de λ; on aura par le n° 2,

or le coefficient de t, dans le développement du second membre de cette équation, est égal à celui de 6 dans le développement de

et par le n° précédent, ce coefficient est égal à Z; donc le coeffi

cient de ť dans le développement de, sera

ou E.X,.Z,, l'intégrale étant prise relativement à r, depuis r=o