La probabilité précédente devient ainsi

1 1197.1594 50.7 1220.663

=0,3046.

Cette probabilité est beaucoup trop grande pour indiquer une cause qui ait favorisé, dans l'origine, les mouvemens directs. Ainsi la cause qui a déterminé le sens des mouvemens de révolution et de rotation des planètes et des satellites, ne paraît pas avoir influé sur le mouvement des comètes.

14. La méthode du numéro précédent a l'avantage de s'étendre au cas où le nombre des boules de l'urne, qui portent le même numéro, n'est pas égal à l'unité, mais varie suivant une loi quelconque. Concevons, par exemple, qu'il n'y ait qu'une boule portant le n° o, qu'une boule portant le n° 1, et ainsi de suite jusqu'au nr inclusivement. Supposons de plus qu'il y ait deux boules portant le n°r+1, deux boules portant le n° r+2, et ainsi de suite jusqu'au n° n inclusivement. Le nombre total des boules de l'urne sera 2n➡r+1, la probabilité d'en extraire un des numéros inférieurs à 7+1, sera donc et la probabilité d'en extraire ; an—r+i

1

le n°r+1 ou l'un des numéros supérieurs, scra

2

2n -rtı

=1

: nous la représenterons par ; mais nous ferons 71 dans le résultat du calcul. Quoiqu'il n'y ait point de numéros au-delà du n°n, nous pouvons cependant considérer dans l'urne des numéros supérieurs à n, jusqu'à l'infini, pourvu que nous donnions à leur extraction, une probabilité nulle; nous pourrons donc représenter 1 +/+1 — 2/"+1 cette probabilité par en faisant 1 dans le ré27-r+1 sultat du calcul. Par cet artifice, nous pourrons représenter généralement la probabilité d'un numéro quelconque, par l'expression précédente; pourvu que nous ne fassions commencer l'+1 que lors. qu'un des numéros commencera à surpasser r, et que nous ne fassions commencer + que lorsqu'un des numéros commencera à surpasser n. Cela posé, on trouvera, en appliquant ici les raisonnemens du numéro précédent, que la probabilité d'amener le nombre

s dans i tirages, est égale à

(s+i—1). (s+i—2). (s+i—3). ...·• (s+1). (1+7+1 — 27′′+1)',

1.2.3....(i—1). (2n—r+1)'

pourvu que dans le développement de cette fonction, suivant les puissances de , on diminue dans chaque terme, s de l'exposant de la puissance 7, qu'on suppose ensuite 7=1, et qu'on arrête la série lorsque l'on parvient à des facteurs négatifs.

15. Appliquons maintenant cette méthode à la recherche du résultat moyen que doit donner un nombre quelconque d'observations dont les lois de facilité des erreurs sont connues. Pour cela, nous allons résoudre le problème suivant.

Soient i quantités variables et positives t, t、, t,,...t1_, dont la somme soit s, et dont la loi de possibilité soit connue ; on propose de trouver la somme des produits de chaque valeur que peut recevoir une fonction donnée (t, t,, t,, etc.) de ces variables, multipliée par la probabilité correspondante à cette valeur.

Supposons pour plus de généralité, que les fonctions qui expriment les possibilités des variables t, t,, etc. soient discontinues, et représentons par (t) la possibilité de t, depuis to jusqu'à t= q ; par o' (t)+(t), sa possibilité depuis q jusqu'à t=q'; par q" "(t)+Q'(t)+(t), sa possibilité depuis t=q' jusqu'à t=q", et ainsi de suite jusqu'à l'infini. Désignons ensuite les mêmes quantités relatives aux variables t,, t,, etc. par les mêmes lettres, en écrivant respectivement au bas, les nombres 1, 2, 3, etc.; ensorte que q1, q', etc.; P.(t.), o, (t.), etc. correspondent, relativement à t1, à ce que q, q', etc.; (t), q' (t), etc. sont respectivement à t, et ainsi de suite. Dans cette manière de représenter les possibilités des variables, il est clair que la fonction(t) a lieu depuis to jusqu'à t'infini; que la fonction ' (t) a lieu depuis tq jusqu'à t infini, et ainsi de suite. Pour reconnaître les valeurs de t, t1, t,, etc. lorsque ces diverses fonctions commencent à avoir lieu, nous multiplierons conformément à la méthode exposée dans les numéros précédens, ❤ ( t) par l• ou l'unité, q′ (t) par l', q"(t) par l′′, etc.; nous multiplierons pareillement, (t,) par l'unité, o, (t,) par 19, et ainsi de suite les exposans des puissances de indiqueront alors

'

4

ces valeurs. Il suffira ensuite de faire 11 dans le dernier résultat du calcul. Au moyen de ces artifices très-simples, on peut facilement résoudre le problème proposé.

La probabilité de la fonction (t, ti, t, etc.) est évidemment égale au produit des probabilités de t, t,, t., etc., ensorte que si l'on substitue pour tsa valeur st,-t, etc. que donne l'équation

t+t+t.....+ti-=s,

le produit de la fonction proposée par sa probabilité, sera

(st-t-etc., t1, t2, etc.)

X[p(s—t,-1,-etc.)+1a.Q'(s—t,-1,-etc.)+l"."(s—t-t-etc.)-etc.]

×[®, (t,)+1a1. Ø'; (t,)+1a ' .9" (t,)+etc.]; ×[P. (to)+2a. Ø ́s (t2) +¿1⁄2.0′′ (i)+etc.]

X etc.

(A)

on aura donc la somme de tous ces produits, 1°. en multipliant la quantité précédente par dt,, et en l'intégrant pour toutes les valeurs dont t, est susceptible; 2° en multipliant cette intégrale par dt., et en l'intégrant pour toutes les valeurs dont t, est susceptible, et ainsi de suite jusqu'à la dernière variable t; mais ces intégrations successives exigent quelques attentions particulières.

Considérons un terme quelconque de la quantité (A), tel que 19+9+9+etc.

• ↓ (s—t, — t2 — etc., t1, t, etc.) ×q'(s—t,—t‚— etc.).q' (t,).q" (t.). etc.;

en le multipliant par dt,, il faut intégrer pour toutes les valeurs possibles de t,; or la fonction ' (s-t,-t-etc.) n'a lieu que lorsque t, dont la valeur est st-t-etc., égale ou surpasse q; la plus grande valeur que t, puisse recevoir, est donc sq-t-t-etc. De plus, ' (t,) n'ayant lieu que lorsque t, est égal ou plus grand que q., cette quantité est la plus petite valeur que t, puisse recevoir; il faut donc prendre l'intégrale dont il s'agit, depuis t,q, jusqu'à t1 = sq— t2-ts-etc.;

ou, ce qui revient au même, depuis t ̧—q,—o jusqu'à

t-q=s-q-q-to-ts-etc.

On trouvera de la même manière qu'en multipliant cette nouvelle intégrale par dt,, il faudra l'intégrer depuis t-q=o jusqu'à

S

1

En continuant d'opérer ainsi, on arrivera à une fonction de s-q-q, — 9 — etc., dans laquelle il ne restera aucune des variables t, t,, t,, etc.Cette fonction doit être rejetée, sis-q-q-q'—etc. est nul ou négatif; car il est visible que dans ce cas, le système des fonctions '(t), 9; (t,), 9" (t,), etc. ne peut pas être employé. En effet, les plus petites valeurs de t1, t2, etc. étant par la nature de ces fonctions, égales à q., q, etc.; la plus grande valeur que t puisse recevoir est s etc.; ainsi la plus grande valeur de

t-q.est

or la fonction '(t) ne peut être employée qu'autant que t-ġ est positif.

1

De là résulte une solution très-simple du problème proposé. Que l'on substitue, 1°. q+t au lieu de t, dans q' (t); q'+t au lieu de t, dans " (t); q"+t au lieu de t, dans q'" (t), et ainsi de suite; 2°. q.+t, au lieu de t,, dans o' (t,); q+t, au lieu de t,, dans q" (t,); etc.; 3°. q,+t, au lieu de t,, dans q' (t.); q.+t, au lieu de t,, dans (t), etc.; et ainsi de suite; 4°. enfin, k+t au lieu de t, k,+t1 au lieu de t,, et ainsi du reste, dans ↓ (t, t,, t, etc.); la fonction (A) deviendra

2

↓(k+s―t,—t2-ts-etc., k,+t1, k1+t, etc.)

× [9 (s—t‚—ts—ts—etc.)+l.q′ (s+q—t,—t,—etc.)

+12.q" (s+q'—t2-ts-etc.)+etc.]; (A') ×[9, (t,)+1a1.q', (q,+t,)+1'.q" (q'+t,)+etc.]

×[92 (t2)+19a.9'; (9,+t2)+etc.]

en multipliant cette fonction par dt,, on l'intégrera depuis t, nul jusqu'à t1=s—tts-etc. On multipliera ensuite cette première intégrale par dt,, et on l'intégrera depuis t, nul jusqu'à t2 = s — t3 — t4 — etc. En continuant ainsi, on parviendra à une dernière intégrale qui sera fonction de s, et que nous désignerons

par

k

par П(s); et cette fonction sera la somme cherchée de toutes les valeurs de ↓ (t, t,, t,, etc.) multipliées par leurs probabilités respectives. Mais pour cela, il faut avoir soin de changer dans un terme quelconque, multiplié par une puissance de 7, telle que 19+9+9+etc., dans la partie de l'exposant de la puissance relative à la variable t, et qui dans ce cas est q; et si cette partie manque, il faut supposer k égal à zéro. Il faut pareillement changer k, dans la partie de l'exposant relative à la variable t,, et ainsi de suite; il faut diminuer s de l'exposant entier de la puissance de 7, et écrire ainsi dans le cas présent, s-q-qi etc., au lieu de s, et rejeter le terme, sis, ainsi diminué, devient négatif. Enfin, il faut supposer l=1.

Si(t, t,, t,, etc.), p(t), q' (t), etc.; .(t,), etc. sont des fonctions rationnelles et entières des variables t, t,, t,, etc.; de leurs exponentielles, et de sinus et cosinus; toutes les intégrations successives seront possibles, parce qu'il est de la nature de ces fonctions, de se reproduire par les intégrations. Dans les autres cas, les intégrations pourront n'être pas possibles; mais l'analyse précédente réduit alors le problème aux quadratures. Le cas des fonctions rationnelles et entières, offre quelques simplifications que nous allons exposer.

Supposons que l'on ait

• (t) + b2. q' (q+t)+la'.q" (q'+t)+etc.=A+B.t+C.t+etc., ©, (t,)+1a1‚Ø' (91+t,)+1a1.0", (q',+t,)+etc.=4,+B,t,+C,..t,+etc., · Q2 (ta)+19a . Q's (qa+t2)+19».q" (q',+t2)+etc.=A+B ̧.·t2+C1t,+etc.,

1

etc.

et désignons par H.t...etc. un terme quelconque de ↓ (k+t, k,+t,, k,+t,, etc.); il est facile de s'assurer que la partic de П (s) correspondante à ce terme, est

1.2.3...n.1.2.3...n.1.2.3...n..etc. H.s

i+n+n+n,etc.-1

×[A+(n+1).B.s+(n+1).(n+2). C. s2+etc.]

×[4,+(n,+1). B ̧.s+(n,+1). (n,+2). C,.s+etc.] ; (B) ×[A,+(n,+1). B ̧.s+(n+1).(n+2).C,.s*+etc.]

> etc.