en ayant soin de rejeter tous les termes dans lesquels la quantité élevée à la puissance 2-2, est négative. Nous allons encore appliquer cette analyse au problème suivant. Si l'on conçoit un nombre i de points rangés en ligne droite, et sur ces points, des ordonnées dont la première soit au moins égale à la seconde, celle-ci au moins égale à la troisième, et ainsi de suite; et que la somme de ces i ordonnées soit constamment égale à s. En supposant s partagé dans une infinité de parties, on peut satisfaire aux conditions précédentes, d'une infinité de manières. On propose de déterminer la valeur de chacune des ordonnées, moyenne entre toutes les valeurs qu'elle peut recevoir. Soit z la plus petite ordonnée, ou l'ordonnée ¿ieme; soit z+z,, T'ordonnée (i-1)ieme; soit z+z,+z., l'ordonnée (i—2)ieme, et ainsi de suite jusqu'à la première ordonnée qui sera z+z,.....+zi-1. Les quantités z, z1, z,, etc. seront ou nulles ou positives, et leur Z1, somme i.z+(i − 1). z,+ (i −2).z ̧...+zi-ı sera, par les condi-. tions du problème, égale à s. Soit i.z=t, (i-1). z, t1, (i-2). z, t2, ... z; = ti- ; on aura t+t+t.....+ti_1 = s; les variables t, t,, t,, etc. pourront s'étendre jusqu'à s. L'ordonnée pieme sera Il faut déterminer la somme de toutes les variations que cette quantité peut recevoir, et la diviser par le nombre total de ces variations, pour avoir l'ordonnée moyenne. La formule (B) donne très-facilement cette somme, en observant qu'ici En divisant cette quantité par le nombre total des combinaisons, 'qui ne peut être qu'une fonction de i et de s, et que nous désignerons par N, on aura pour la valeur moyenne de l'ordonnée pieme Pour déterminer N, nous observerons que toutes les valeurs moyennes doivent ensemble égaler s; ce qui donne Supposons qu'un effet observé n'ait pu être produit que par l'une des i causes A, B, C, etc.; et qu'une personne, après avoir apprécié leurs probabilités respectives, écrive sur un billet, les lettres qui indiquent ces causes, dans l'ordre des probabilités qu'elle leur attribue, en écrivant la première, la lettre indiquant la cause qui lui semble la plus probable. Il est clair que l'on aura par la formule précédente, la valeur moyenne des probabilités qu'il peut supposer à chacune d'elles, en observant qu'ici la quantité s que l'on doit répartir sur chacune des causes, est la certitude ou l'unité, puisque la personne est assurée que l'effet doit résulter de l'une d'elles. La valeur moyenne de la probabilité qu'elle attribue à la cause qu'elle a placée sur son billet au rangime, est donc De là il suit que si un tribunal est appelé à décider sur cet objet, et que chaque membre exprime son opinion par un billet semblable au précédent; alors, en écrivant sur chaque billet, à côté des lettres qui indiquent les causes, les valeurs moyennes qui répondent au rang qu'elles ont sur le billet; en faisant ensuite une somme de toutes les valeurs qui correspondent à chaque cause, sur les divers billets; la cause à laquelle répondra la plus grande somme, sera celle que le tribunal jugera la plus probable. Cette règle n'est point applicable aux choix des assemblées électorales, parce que les électeurs ne sont point astreints, comme les juges, à répartir une même somme prise pour unité, sur les divers partis entre lesquels ils doivent se déterminer : ils peuvent supposer à chaque candidat, toutes les nuances de mérite comprises entre le mérite nul et le maximum de mérite, que nous désignerons par a : l'ordre des noms sur chaque billet, ne fait qu'indiquer que l'électeur préfère le premier au second, le second au troisième, etc. On déterminera ainsi les nombres qu'il faut écrire sur le billet, à côté des noms des candidats. 1 Soient t,, t, tз...t, les mérites respectifs des i candidats, dans l'opinion de l'électeur, t, étant le mérite qu'il suppose à celui des candidats qu'il a mis au premier rang, t, étant le mérite qu'il suppose au second, et ainsi de suite. L'intégrale ft.dt..dt....dt, exprimera, la somme des mérites que l'électeur peut attribuer au candidat r, pourvu que l'on intègre d'abord par rapport à t,, depuis to jusqu'à t1 = t; ensuite par rapport à t, depuis t, jusqu'à t., et ainsi de suite, jusqu'à l'intégrale relative à t1, que l'on prendra depuis t nul jusqu'à t1=a. Car il est visible qu'alors ti ne surpasse jamais ti-, ti, ne surpasse jamais t-, etc. En divisant l'intégrale précédente par celle-ci fdt,.dt....dt, qui exprime la somme totale des combinaisons dans lesquelles la condition précédente est remplie, on aura l'expression moyenne du mérite que l'électeur peut attribuer au candidat ieme. En exécutant les intégrations, on trouve i-r+1. a pour cette expression. De là il suit que l'on peut écrire sur le billet de chaque électeur, i à côté du premier nom, i-1 à côté du second, i-2 à côté du troisième, etc. En réunissant ensuite tous les nombres relatifs à chaque candidat, sur les divers billets; celui des candidats qui aura la plus grande somme, doit être présumé le candidat qui, aux yeux de l'assemblée électorale, a le plus grand mérite, et doit par con→ séquent être choisi. Ce mode d'élection serait sans doute le meilleur, si des considérations étrangères au mérite n'influaient point souvent sur le choix des électeurs, même les plus honnêtes, et ne les détermi❤ naient point à placer aux derniers rangs, les candidats les plus redoutables à celui qu'ils préfèrent; ce qui donne un grand avantage aux candidats d'un mérite médiocre. Aussi l'expérience l'a-t-elle fait abandonner aux établissemens qui l'avaient adopté. Supposons que les erreurs d'une observation puissent s'étendre dans les limites a eta; mais qu'ignorant la loi de probabilité de ces erreurs, on ne l'assujétisse qu'à la condition de leur donner une probabilité d'autant plus petite, qu'elles sont plus grandes; lá probabilité des erreurs positives étant supposée la même que celle des erreurs négatives correspondantes, toutes choses qu'il est naturel d'admettre. La formule () donnera encore la loi moyenne des erreurs. Pour cela on concevra l'intervalle à partagé dans un nombre infini i de parties représentées par dx, ensorte que i on fera ensuite r ; la formule () devient ainsi dx α l'intégrale étant prise depuis x=x jusqu'à x=a; dans la question présentes; car l'erreur devant tomber dans les limites—a et +a, la probabilité qu'elle tombera dans les limites o et a est; c'est la quantité s qu'il faut répartir sur tous les points de l'intervalle a; la formule () devient donc alors Ainsi la loi moyenne des probabilités des erreurs positives x, ou négatives -x, est CHAPITRE III. Des lois de la probabilité, qui résultent de la multiplication indéfinie des événemens. 16. A MESURE que les événemens se multiplient, leurs probabilités respectives se développent de plus en plus : leurs résultats moyens et les bénéfices ou les pertes qui en dépendent, convergent vers des limites dont ils approchent avec des probabilités toujours croissantes. La détermination de ces accroissemens et de ces limites, est une des parties les plus intéressantes et les plus délicates de l'analyse des hasards. Considérons d'abord la manière dont les possibilités de deux événemens simples dont un seul doit arriver à chaque coup, se développent lorsqu'on multiplie le nombre de coups. Il est visible que l'événement dont la facilité est la plus grande, doit probablement arriver plus souvent dans un nombre donné de coups; et l'on est porté naturellement à penser qu'en répétant les coups un trèsgrand nombre de fois, chacun de ces événemens arrivera proportionnellement à sa facilité, que l'on pourra ainsi découvrir par l'expérience. Nous allons démontrer analytiquement cet important On a vu dans le n° 6 que si pet 1p sont les probabilités respectives de deux événemens a et b ; la probabilité que dans x+x coups, l'événement a arrivera x fois, et l'événement b, x' fois, est égale à 1.2.3.1.(x+x") ·p2. c'est le (x+1)ieme terme du binome [p+(1-p)]+'. Considérons le plus grand de ces termes que nous désignerons par k. Le terme |