extrême rapidité, et la probabilité précédente s'approche rapidement de l'unité à laquelle elle devient égale, lorsque le nombre des coups est infini. Il y a ici deux sortes d'approximations : l'une d'elles est relative aux limites prises de part et d'autre de la facilité de l'événement a; l'autre approximation se rapporte à la probabilité que le rapport des arrivées de cet événement, au nombre total des coups, sera renfermé dans ces limites. La répétition indéfinie des coups accroît de plus en plus cette probabilité, les limites restant les mêmes: elle resserre de plus en plus l'intervalle de ces limites, la probabilité restant la même. Dans l'infini, cet intervalle devient nul, et la probabilité se change en certitude. L'analyse précédente réunit à l'avantage de démontrer ce théorème, celui d'assigner la probabilité que dans un grand nombre n de coups, le rapport des arrivées de chaque événement sera compris dans des limites données. Supposons, par exemple, que les facilités des naissances des garçons et des filles soient dans le rapport de 18 à 17, et qu'il naisse dans une année, 14000 enfans; on demande la probabilité que le nombre des garçons ne surpassera pas 7363, et ne sera pas moindre que 7037, Dans ce cas, on a 18 6800, n=14000, l≈ 163; la formule (o) donne à fort peu près 0,994303 pour la probabilité cherchée. Si l'on connaît le nombre de fois que sur n coups, l'événement a est arrivé; la formule (o) donnera la probabilité que sa facilité p supposée inconnue, sera comprise dans des limites données. En effet, si l'on nomme i ce nombre de fois, on aura, par ce qui précède, la probabilité que la différence -p sera comprise dans les limites + T.Vaxx i n +; par conséquent, on aura la probabilité les quantités de l'ordre, y substituer i au lieu de x, et n—i au lieu de x'; les limites précédentes deviennent ainsi, en négligeant les termes de l'ordre et la probabilité que la facilité de l'événement a est contenue dans ces limites, est égale à On voit ainsi qu'à mesure que les événemens se multiplient, l'intervalle des limites se resserre de plus en plus, et la probabilité que la valeur de p tombe dans ces limites, approche de plus en plus de l'unité ou de la certitude. C'est ainsi que les événemens, en se développant, font connaître leurs probabilités respectives. On parvient directement à ces résultats, en considérant p comme une variable qui peut s'étendre depuis zéro jusqu'à l'unité, et en déterminant, d'après les événemens observés, la probabilité de ses diverses valeurs, comme on le verra lorsque nous traiterons de la probabilité des causes, déduite des événemens observés. Si l'on a trois ou un plus grand nombre d'événemens a, b, c, etc., dont un seul doive arriver à chaque coup; on aura, par ce qui précède, la probabilité que dans un très-grand nombre n de coups, le rapport du nombre de fois qu'un de ces événemens, a par exemple, arrivera, au nombre n, sera compris dans les limites a étant une très-petite fraction; et l'on voit que dans le cas extrême du nombre n infini, l'intervalle 2a de ces limites peut être supposé nul, et la probabilité peut être supposée égale à la certitude, ensorte que les nombres des arrivées de chaque événement seront proportionnels à leurs facilités respectives. Quelquefois les événemens, au lieu de faire connaître directement les limites de la valeur de p, donnent celles d'une fonction de cette valeur; alors on en conclut les limites de p, par la résolution des équations. Pour en donner un exemple fort simple, considérons deux joueurs A et B, dont les adresses respectives soient P et 1 —p, et jouant ensemble à cette condition, que la partie soit gagnée par celui des deux joueurs qui, sur trois coups, aura vaincu deux fois son adversaire, le troisième coup n'étant pas joué, comme inutile, lorsque l'un des joueurs a vaincu dans les deux premiers coups. La probabilité de A pour gagner la partie, est la somme des deux premiers termes du binome [p+(1-p)]; elle est par conséquent égale à p3+3p2. (1—p). Soit P cette fonction ; en élevant le binome P+(1-P) à la puissance n, on aura, par l'analyse précédente, la probabilité que sur le nombre n de parties, le nombre des parties gagnées par A sera compris dans des limites données. Il suffit pour cela de changer pen P dans la formule (6). Si l'on nomme i le nombre des parties gagnées par A, la formule (o') donnera la probabilité que P sera compris dans les limites Soit done p' la racine réelle et positive de l'équation les limites corresponP, en désignant par p'dp les limites de dantes de P seront à très-peu près 3p'-2p'36p'. (1—p').dp; en égalant ces limites aux précédentes, on aura ainsi la formule (o') donnera la probabilité que p sera compris dans les limites Le nombre n des parties.ne détermine pas le nombre des coups, puisqu'il peut y avoir des parties de deux coups, et d'autres de trois coups. On aura la probabilité que le nombre des parties de deux coups, sera compris dans des limites données, en observant que la probabilité d'une partie à deux coups, est p2+(1-p)*; désignons cette fonction par P'. En élevant le binome P'+(1-P') à la puissancen, la formule (o) donnera la probabilité que le nombre des parties de deux coups sera compris dans les limites nP' + 1; or le nombre des parties de deux coups étant nP'±l, le nombre des parties à trois coups sera n(1-P'); le nombre total des coups sera donc 3n—nP'—1; la formule (o) donnera donc la probabilité que le nombre des coups sera compris dans les limites 2n. (1+p—p')=T.√2nP'.(1—P'). 17. Considérons une urne A renfermant un très-grand nombre n de boules blanches et noires, et supposons qu'à chaque tirage, on tire une boule de l'urne, et qu'on la remplace par une boule noire. On demande la probabilité qu'après r tirages, le nombre des boules blanches sera x. Nommonsy,, cette probabilité. Après un nouveau tirage, elle devient J',+1. Mais pour qu'il y ait x boules blanches après r+1 tirages, il faut qu'il y ait ou x+1 boules blanches après le tirage r, et que le tirage suivant fasse sortir une boule blanche, ou x boules blanches après le tirage r, et que le tirage suivant fasse sortir une boule noire. La probabilité qu'il y aura x+1 boules blanches après r tirages, esty+1,, et la probabilité qu'alors le tirage suivant fera sortir une boule blanche, est *+1; la probabilité de l'événement composé est donc *+1.2+1,1; c'est la première partie de y',+i. La probabilité qu'il y aura x boules blanches après le tirage r, est y.,,; et la probabilité qu'alors il sortira une boule noire, est- , parce que le nombre des boules noires de l'urne est n-x; la probabilité de l'événement composé est donc l'on a n. n n ··Ñ,,; c'est la seconde partie de y,+. Ainsi n étant supposé un très-grand nombre, on peut réduire en séries convergentes y n et y x' n ނ ; on aura donc, en négligeant les (x'.c") étant une fonction arbitraire de x'.c", qu'il faut détermi ner par la valeur de y',,.. Supposons que l'urne A ait été remplie de cette manière. On projette un prisme droit dont la base étant un polygone régulier de p+q côtés, est assez étroite pour que le prisme ne retombe ..jamais sur elle. Sur les p+q faces latérales, p sont blanches et q sont noires, et l'on met dans l'urne A, à chaque projection, une boule de la couleur de la face sur laquelle le prisme retombe. Après n projections, le nombre des boules blanches sera à fort peu près, par le n° précédent, ".p et la probabilité qu'il sera n.p +, est, par le même numéro, p+q |