et si l'on prend l'intégrale depuis t=—∞ jusqu'à t=∞, on aura en ne considérant que la variation de u',

On aura, par le numéro précédent, l'erreur moyenne à craindre en plus ou en moins, sur la correction du premier élément, en multipliant la quantité sous le signe / paru, et prenant l'intégrale depuis u=o jusqu'à u∞, ce qui donne pour cette

le signe indiquant l'erreur moyenne à craindre en plus, et le signe-, l'erreur moyenne à craindre en moins.

Déterminons présentement les facteurs m et n, de manière que cette erreur soit un minimum. En faisant varier m↔ seul, on a

V/H=dm® ̧[—p.S.n©q©+q©.S.n©p©]

d.log

+dm

I

q.S.n2.S.m©q—n®.S.m©q©.S.n©q©

-q.S.mn.S.n©q+m®. (S.n©q®)2

H

Il est facile de voir que cette différentielle disparaît, si l'on suppose dans les coefficiens de dm,

m↔=μ.p", n↔=μ.q©,

μ étant un coefficient arbitraire indépendant de i, et au moyen duquel on peut rendre met n des nombres entiers; la suppo

sition précédente rend donc nulle la différentielle de

H

י I

prise par

rapport à m. On verra de la même manière, que cette supposition rend nulle la différentielle de la même quantité, prise par rapport à n. Ainsi cette supposition rend un minimum, l'erreur moyenne à craindre sur la correction du premier élément ; et l'on verra de la même manière, qu'elle rend encore un minimum, l'erreur moyenne à craindre sur la correction du second élément, erreur que l'on obtient en changeant dans l'expression de la précédente, H en F. Dans cette supposition, les corrections des deux élémens sont

Il est facile de voir que ces corrections sont celles que donne la méthode des moindres carrés des erreurs des observations, ou du minimum de la fonction

S.(p©z+q©z' —œ(i) )a ;

d'où il suit que cette méthode a généralement lieu, quel que soit le nombre des élémens à déterminer; car il est visible que l'analyse précédente peut s'étendre à un nombre quelconque d'élémens.

kn

En substituant pour a. , la quantité, à laquelle on peut, par le n° 20, le supposer égal, e, e, etc. étant ce qui reste dans les équations de condition, après y avoir substitué les corrections données par la méthode des moindres carrés des erreurs ; l'erreur moyenne à craindre sur le premier élément, est

L'erreur moyenne à craindre en plus ou en moins sur le second élément, est

d'où l'on voit que le premier élément est plus ou moins bien déterminé que le second, suivant que S.q est plus petit ou plus grand que S.p2.

Si les r premières équations de condition ne renferment point q, et si les s―r dernières ne renferment point p; alors S.pq=o, et les formules précédentes coïncident avec celle du numéro précédent.

On peut obtenir ainsi l'erreur moyenne à craindre sur chaque élément déterminé par la méthode des moindres carrés des erreurs, quel que soit le nombre des élémens, pourvu que l'on considère un grand nombre d'observations. Soient z, z', z", z"", etc., les corrections de chaque élément, et représentons généralement les équations de condition, par la suivante,

ε=p.z+q.z'+r.z"+t.z'"+etc.— œ.

Dans le cas d'un seul élément, l'erreur moyenne à craindre est, comme on l'a vu,

Lorsqu'il y a deux élémens, on aura l'erreur moyenne à craindre sur le premier élément, en changeant dans la fonction (a), S.p dans S.pa__ (S.p©q(4)• ; ce qui donne pour cette erreur,

S.q(1)

Lorsqu'il y a trois élémens, on aura l'erreur à craindre sur le premier élément, en changeant dans cette expression (a'), S. q dans

S.p•_ (S.p1)*, S.pq dans S.pq@. S.pr.§.qr0

S.ra

S.1

; ce qui donne pour cette erreur,

2

et

(a")

Dans

Das le cas de quatre élémens, on aura l'erreur moyenne à craindre sur le premier élément, en changeant dans cette expression (a"),

S.p, dans S.p_(S.); S.pq, dans S.pq— S.pt.S.qt

S.12

etc. En continuant ainsi, on aura l'erreur moyenne à craindre sur le premier élément, quel que soit le nombre des élémens. En changeant dans l'expression de cette erreur, ce qui est relatif au premier élément, dans ce qui est relatif au second, et réciproquement; on aura l'erreur moyenne à craindre sur le second élément, et ainsi des autres.

De là résulte un moyen simple de comparer entre elles diverses tables astronomiques, du côté de la précision. Ces tables peuvent toujours être supposées réduites à la même forme, et alors elles ne different que par les époques, les moyens mouvemens, et les coefficiens de leurs argumens; car si l'une d'elles, par exemple, contient un argument qui ne se trouve point dans les autres, il est clair que cela revient à supposer dans celles-ci, ce coefficient nul. Maintenant, si l'on comparait ces tables à la totalité des bonnes observations, en les rectifiant par cette comparaison; ces tables ainsi rectifiées, satisferaient, par ce qui précède, à la condition que la somme des carrés des erreurs qu'elles laisseraient subsister encore, soit un minimum. Les tables qui approcheraient le plus de remplir cette condition, mériteraient donc la préférence; d'où il suit qu'en comparant ces diverses tables, à un nombre considérable d'observations, la présomption d'exactitude doit être en faveur de celle dans laquelle la somme des carrés des erreurs est plus petite que dans les autres.

22. Jusqu'ici nous avons supposé les facilités des erreurs positives, les mêmes que celles des erreurs négatives. Considérons maintenant le cas général dans lequel ces facilités peuvent être différentes. Nommons a l'intervalle dans lequel les erreurs de chaque observation peuvent s'étendre, et supposons-le partagé dans un nombre infini n+n' de parties égales et prises pour l'unité, n étant le nombre des parties qui répondent aux erreurs négatives, et n' étant le nombre des parties qui répondent aux erreurs positives.

Sur chaque point de l'intervalle a, élevons une ordonnée qui exprime la probabilité de l'erreur correspondante, et désignons par (+), P'ordonnée correspondante à l'erreur x. Cela posé, con

s'étendant à toutes les valeurs de x, depuis x➖➖n jusqu'à x=n'. Le terme indépendant de cV1 et de ses puissances, dans le développement de la fonction

sera, par le n° 21, la probabilité que la fonction

ge+gε....+q(-1) (-1), (m)

sera égale à l+; cette probabilité est donc

l'intégrale étant prise depuis — jusqu'à @=7. Le logarithme de la fonction