Théorèmes sur le développement des fonctions et de leurs différences, en séries. 10. En appliquant à des fonctions particulières, les principes généraux exposés dans le n° 1, on aura une infinité de théorèmes sur le développement des fonctions, en séries. Nous allons présenter ici les plus remarquables. On a généralement u.(;−1)"=u.[(1+} − 1)− 1]. Or il est clair que le coefficient det dans le premier membre de cette équation, est la différence ni de y., x variant de i; car ce coefficient dans u.—1) est y-you'▲.y,, en désignant par la caractéristique 'A, les différences finies, lorsque x varie de la quantité i; d'où il est facile de conclure que ce même coefficient, dans le développement de u.(-1) est 'A".yest 'A".y.. D'ailleurs si l'on développe u.[(1+1)-1]suivant les puissances de ¦—1, les coefficiens de ♬ dans les développemens de u.(;—1), u.(−1)", etc. sont, par le n° 2, ▲.y., Aa.y., etc.; ensorte que ce coefficient, dans u.[(1+¦−1)—1]", est [(1+A.y;)'—1]", pourvu que dans le développement de cette quantité, on applique à la caractéristique A, les exposans de puissances de A.y, et qu'ainsi au lieu d'une puissance quelconque (A.y.)', on écrive A'.y.; on aura donc avec cette condition, Si l'on désigne par la caractéristique ', l'intégrale finie, lorsque x varie de i; '".y, sera, par le n° 2, le coefficient de ť dans le développement de la fonction u.(-1)*, en faisant abstraction + + des constantes arbitraires que l'intégration introduit; or on a u. (; − 1) ̃ ̄"=u.[(1 + ¦ −1)−1]"; de plus, le coefficient de ♬ dans u.(−1) est Σ'.ys, en faisant abstraction des constantes arbitraires; ce coefficient dans 1.( — 1)' est ▲'.y.; on aura donc 'Σ".y = [(1+A.y2)'— 1 ]—" ;. (2) pourvu que dans le développement du second membre de cette équation, on applique à la caractéristique A, les exposans des puissances de A.y.; que l'on change les différences négatives en intégrales, et que l'on substitue y au lieu de ▲°.y; et comme ce développement renferme l'intégrale ".y., qui peut être censée renfermer n constantes arbitraires; l'équation (2) est encore vraie, en ayant égard aux constantes arbitraires. I On peut observer que cette équation se déduit de l'équation (1), en faisant dans celle-ci, n négatif, et en y changeant les différences négatives en intégrales; c'est-à-dire, en écrivant 'Z".y, au lieu de 'A".y. dans le premier membre; et généralement dans le développement du second membre, '.y, au lieu de A ̄'.yr. Les équations (1) et (2) auraient également lieu, si x, au lieu de varier de l'unité dans ▲.y, variait d'une quantité quelconque pourvu que la variation de x dans '▲.y, soit égale à iæ. En effet, il est clair que si dans y, on fait x = x=-, x' variera de, lorsque x variera de l'unité; A.y, se changera dans A.y, la variation de x' étant ; et 'A.y, se changera dans 'A.y, la variation de x' étant iw. Maintenant si après avoir substitué ces quantités dans les équations (1) et (2), on suppose infiniment petit et égal à dx'; ▲.y se changera dans la différence infiniment petite dy,. Si de plus on fait i infini, et idx'=a, a étant une quantité finie; la variation de x' dans 'A.y, sera a; on aura donc c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité; on a donc en ayant soin d'appliquer à la caractéristique d, les exposans des puissances de dy; de changer les différences négatives en intégrales, et la quantité d'y en yz On peut donner à l'équation (3) cette forme singulière qui nous sera utile dans la suite. a dyn 2 dx' )", tel que i (d). En. le multipliant par et développant cette dernière quantité, on aura k. dart • [Yo,+ na dywy +(2)"...+etc. dx' 2 : + Si dans les équations (1) et (2), on suppose encore i infiniment petit et égal à dx; on aura •Ÿ== d'on•S "Yz•dx" on a d'ailleurs (1+▲.ys)' = cdx.log (1+▲.y2)=1+dx.log (1+▲.y.); les équations (1) et (2) deviendront ainsi On peut observer ici une analogie singulière entre les puissances positives et les différences, et cutre les puissances négatives et les intégrales. L'équation 'A.y.=c dva a. dx est la traduction du théorème connu de Taylor, lorsque, dans le développement de son second membre, suivant les puissances ded, on applique à la caractéristique d, les exposans de ces puissances. En élevant les deux membres de cette équation à la puissance n, et appliquant aux caractéristiques 'A et d, les exposans des puissances de 'A.y, et de dy,, on aura l'équation (3), d'où résulte l'équation (4), en changeant les différences négatives en intégrales. En prenant les logarithmes de chaque membre, on aura Supposant ensuite a=1, ce qui change '▲.y, dans ▲.y,, et élevant les deux membres de cette équation, à la puissance n, on aura l'équation (5), pourvu que l'on applique les exposans des puissances, aux caractéristiques. On aura l'équation (6), en faisant n négatif, et changeant les puissances négatives en intégrales. Si dans l'équation précédente (r), on change a dans i, on En élevant chaque membre à la puissance n, et appliquant les exposans des puissances, aux caractéristiques; on aura l'équation (1), d'où résulte l'équation (2), en changeant les différences négatives en intégrales. Les équations (1), (2), (3), (4), (5) et (6) résultent donc du théorème de Taylor, mis sous la forme de l'équation (o), en transformant cette équation suivant les règles de l'analyse, pourvu que dans les résultats on applique aux caractéristiques, les exposans des puissances, que l'on change les differences négatives en intégrales, et que l'on substitue la variable elle-même au lieu de ses différences zéro. Cette analogie des puissances positives avec les différences, et des puissances négatives avec les intégrales, devient évidente par la théorie des fonctions génératrices. Elle tient, comme on l'a vu, à ce que les produits de la fonction u, génératrice de y., par les puissances de- -1 sont les fonctions génératrices des différences finies successives de y., x variant d'une quantité quelconque i; tandis que les quotiens de u, divisés par ces mêmes puissances, sont les fonctions génératrices des intégrales de Yz En considérant, au lieu du facteur 1 et de ses puissances, |