les puissances d'une fonction quelconque rationnelle et entière de

1

, on peut en conclure des théorèmes analogues aux précédens, sur les dérivées successives des fonctions. Je nomme dérivée d'une fonction y., toute quantité qui en dérive, telle que a.y+b.y2+i +e.y++ etc. En regardant ensuite cette fonction dérivée comme une nouvelle fonction que je désigne pary; la quantité a.y+b.y'++e.y + etc. sera une seconde dérivée de la fonction y.; et ainsi de suite. Lorsque la fonction a.y+b.y++ etc. devienty,+ya+, la dérivée devient une différence finie. Maintenant on a

1+2

(a)

(a + + =u.[a+ u. [ a+b.(. a+b. (1 + 1, −1) " " + e.(1+−1)*+ etc.

I

I

on a ensuite généralement, par le n° 2, en désignant par v.y, la quantité a.y+b • Y x + 1+ C • Y = ++etc., v".Y1⁄2 pour le coefficient de la fonction génératrice du premier membre de cette équation; de plus on a

Le second membre de cette équation est la fonction généra

trice de

dy r.

dx

ou de cd; en appliquant à la caractéristique à les exposans des d

dyr

puissances de, et écrivant y., au lieu de (d). De là on conclut que sous les mêmes conditions, le second membre de l'équation (q) est la fonction génératrice de

et qu'ainsi cette équation donne, en repassant des fonctions géné

On peut ainsi obtenir une infinité de résultats semblables. Nous nous bornerons au suivant, qui nous sera utile dans la suite.

u.(Vi) est la fonction génératrice de

d'où l'on tire, en repassant par l'analyse précédente, des fonctions génératrices aux coefficiens,

dy

2dx

dy's
adx

Σ

11. Je n'ai considéré jusqu'ici, qu'une seule fonction ys de x; mais la considération du produit de plusieurs fonctions de la même variable, conduit à divers résultats curieux et utiles d'analyse. Soit ❝ une fonction de t, ety, le coefficient det dans le développement de cette fonction; soit u' une fonction de t', et y le coefficient de t' dans le développement de cette fonction ; soit encore u" une fonction de t", et y le coefficient de t" dans son développement; et ainsi de suite. Il est clair que y..y.y.etc. sera le coefficient de t.t.t. etc. dans le développement du produit u.u'.u". etc.; ce produit sera donc la fonction génératrice de yyy.etc. La fonction génératrice de y+y+y+, etc.—y.y'.y.etc., ou de A.yyy.etc. sera ainsi

I

et la fonction génératrice de A".y.y.y". etc. sera

· u.u'. u". etc. (... etc.-1)".

t".

On prouvera, comme dans le n° 2, que la fonction génératrice de
Z".y..y.y". etc. sera

u.u'.u". etc. (..etc.-1) ̄";

c'est-à-dire que l'on peut changer n en-n dans la fonction génératrice de A". yy.etc., pourvu que l'on change A-" dans Σ".

Appliquons ces résultats à deux fonctions y, et y. La fonction génératrice de A".y..y' ́ será u.u'.(-1). On peut la mettre sous

n-1

sont respectivement génératrices des produitsy.A".y.; A‹ƒ'1·▲TM ̄ ̈1‚Y ́±+1; ▲3.y'..A ̃ ̃3·y ́s+; etc. L'équation

u.u'. ( — — — 1) = u.u'. [ ( ; — 1)" + ; · ( − 1)" ̄`· (G) −1)+ etc.]

donnera donc, en repassant des fonctions génératrices aux coefficiens,

A". y. ·y', = y', •A" · Y2+n. A ·y' · A ̃ ̄`· Yz+›

I

=u.u'.u".etc.[(1+/−1). (1+¦—1). (1+ ÷ −1). etc.—1]";

ce qui donne, cn repassant des fonctious génératrices aux coefficiens,

+· A".y.y'..y". etc.= [(1+A).(1+A').(1+A′′). etc.—1]" ; (10)

pourvu que dans chaque terme du développement du second membre de cette équation, on place immédiatement après chaque caractéristique A, A', A", etc., respectivement y., Y, Y, etc., et qu'on multiplie ce terme par le produit des fonctions dont il ne contient point la caractéristique. Ainsi dans le cas de trois variables, on écrira, au lieu de A', la quantité y.y". A'.y; au lieu de ▲'. A", on écrira y". A'. y. · A".y'. ; au lieu de A". A""

Y's. A". y'.. A"".y"; et ainsi du reste.

"

I

on écrira

En faisant n négatif, l'équation (10) subsiste encore, pourvu que l'on change les différences négatives en intégrales.

Dans le cas des différences infiniment petites, les caractéristiques A, A', A", etc. se changent en d, d', d', etc. L'équation (10) devient ainsi, en négligeant les différentielles d'un ordre supérieur, relativement à celles d'un ordre inférieur,

d".y..y'.y"..etc.—(d+d'+d+etc.)".

Cette équation développée donne, relativement à deux fonctions y= ety',,.

d" • y = • y' =y' • d'y z+n.dy' .d"~'y +

(n−1)

n.

2.dy.dy+etc.

1.2

En faisant n négatif, les différences négatives se changeant en in

=u.u'.u".etc.[(1+1)'. (1+1). (1+1). etc.-1];

en désignant donc par 'Ayyy.etc., la différence finie du produity.y.y. etc., lorsque x varie de i; l'équation précédente donnera, en repassant des fonctions génératrices aux coefficiens, 'A".y..y'..y.etc.=[(1+A)'. (1+A')'. (1+A").etc.-1]" ; (11) en observant les conditions prescrites ci-dessus relativement aux caractéristiques A, A', A", etc., et à leurs puissances. Cette dernière équation subsiste encore, en faisant n négatif, pourvu que l'on change les différences négatives en intégrales.

yi, y, etc. deviendront des fonctions de x', que nous désignerons par y, y', etc.; l'équation (11) donnera ainsi la suivante, en observant que les caractéristiques A, A', etc. se changent en d, d', etc., et que l'on a

équation qui subsiste encore en faisant n négatif, et changeant les différences négatives en intégrales.

Ne considérons que deux variables y et y', et supposons y= p2, on aura

(1+A')'=p*+i‚A.pa+i. (i—1). ▲1.p2 + etc. ;

1.2

or