L'équation (11) deviendra ainsi 'A".p.y=p.[p'. (1+▲.y.)' — 1]"; (13); en faisant n négatif, on aura p* 'Σ" • p2 •y == [p1. (1 + A·ys)' — 1]" +a.x11+b.x"-2+ etc.; (14) a, b, etc. étant des constantes arbitraires dues à l'intégration n fois répétée de p1.y.. J'ajoute ici ces constantes, au second membre de l'équation précédente; parce qu'elles ne sont implicitement renfermées dans son premier terme, que lorsque p=1. Si l'on fait dans les deux équations précédentes, x = dx' Si dans les équations (13) et (14), on suppose i infiniment petit et égal à dx;'A". p.y, se changera dans d".p.y., et 'E". p* ·y; 1 se changera dans ".p.y.. dx" ; on aura ensuite on aura donc dx p'.(1+A.y;)'= cdx.log [p. (1+A.yx)]; · [p'. (1+▲.ys)' -1]" dx". {log [p.(1+A.y.}]}"; et les équations (13) et (14) deviendront p* { log.[p. (1+A.y1)]}~+a.+b.x+etc. (18) CHAPITRE II. Des fonctions génératrices à deux variables. 12. NOMMONS OMMONS и une fonction de t et t'; supposons qu'en la développant suivant les puissances de t et t', elle donne la suite infinie Yo,o+y1,0t+y1,0. t ....+y's,.. t ++y+, ot+ ... +∞,··200 +y.,.t+y111.t.t+y111. t*.t'...+y,, . t. t'+y=+1, t1t'....+Y∞, t°° .t +y。‚‚·t'2+y' ‚‚‚·t.t''+Y 2,,·t" .t' * ...+y=,s·t" . t " + y = +1, .t2 + ' t " ... +Y∞, a.t00 .t'a etc. le coefficient de t.t sera y,; u sera donc la fonction génératrice de y, z/ Si l'on désigne par la caractéristique ▲, les différences finies, lorsque x seul varie de l'unité, et par la caractéristique 'A, les différences lorsque x' seul varie de la même quantité; la fonction génératrice de A.y, sera, par le n° 1, u. ·(−1), et celle de '▲, y, z, sera u. (-1); d'où il est facile de conclure que la · ( − 1 )'. . ( − 1)". fonction génératrice de A'.'A".y, sera u En général si l'on désigne par v.y-,-, la quantité A.Y, 21+ B.Yx+1, + C. Y+,+ etc. + B'. y=, 2+1+C'. y=+, ++ etc. +C". Y=,=1+ a + etc. + etc.; Si l'on désigne pareillement par v'.ys, une fonction dans laquelle 3 V.y, entre de la même manière que y, dans .y;,; si l'on désigne encore par v3. y.,,, une fonction dans laquelle v2. y,, entre de la même manière que y.,,, dans v.y,, et ainsi de suite; la fonction génératrice de v".y, sera u. B 1 + 3/2 + + etc. B' C +++ etc. t.t n ; partant, la fonction génératrice de A'.'A". ".y, sera la fonction génératrice précédente, multipliée par (;—1)'. (;—1)“. k k.u 1 s étant supposée une fonction quelconque de et de; si l'on développes suivant les puissances de ces variables, et que l'on désigne par un terme quelconque de ce développement; le coefficient de t. t'" dans tm.t'm/ étant k. y=+m, x2+m/, on aura celui de t.t'' dans u.s', ou, ce qui revient au même, on aura v'.y =,=) 1o. en substituant dans s, y, au lieu de,y,, au lieu de ; 2°. en développant ce que devient alors u.s' suivant les puissances de y et de y, et en appliquant respectivement aux indices x et x' les exposans de ces puissances, c'est-à-dire en écrivant au lieu d'un terme quelconque, tel que k. (y2)". (Yz1)TM', k •YI+m, et par conséquent k.ys, au lieu du terme tout constant k, ou k. (Y'z')°· (Yx1)°. Si au lieu de développers' suivant les puissances de et de on le développe suivant les puissances de-1 et de -1, et que l'on désigne par ₺. (; —1)". (}; − 1)" k un terme quelconque de ce développement; le coefficient de t. t' dans k.u. (;—1)". (}; —1)TM. Am.Am'. étant k. A"!'A"'. y', '; on aura v'.y,, 1°. en substituant dans s, A. y, z, au lieu de 1 -1; 2°. en déet 'A. yx, x 1 et '▲.y-,-, au lieu de veloppant alors s' suivant les puissances de A.Yz, et en appliquant aux caractéristiques ▲ et '▲, les exposans de ces puissances, c'est-à-dire en écrivant, au lieu d'un terme quelconque, tel que k. (A. y, z)". ('A. y, z)"', celui-ci k. A.'A'.y, ; et par conséquent k.yz, au lieu du terme constant k. Soit la caractéristique des intégrales finies relatives à et 'Σ celle des intégrales finies relatives à x'; soit de plus z la fonction génératrice de 2.2". y, x'j on aura z. ( − 1 ). ( − 1 ) pour la fonction génératrice de y', /. Cette fonction doit, en n'ayant égard qu'aux puissances positives ou nulles de t et de t', se reduire à u; on aura ainsi, par le n° 2, a, b, c.....q étant des fonctions arbitraires de t', et a', b', c'.....q' étant des fonctions arbitraires de t; partant De l'interpolation des suites à deux variables, et de l'intégration des équations linéaires aux différences partielles. 13. J+,+ est évidemment égal au coefficient de t. dans le développement de; or on a u · (1 + 1 − 1 )'. (1 + 3 − 1)"; on aura donc par le numéro précédent, Y's+i, 7/+i! = (1 + A. y, x)'. (1 + 'A. Yz, x)" ; 7 en développant le second membre de cette équation, on aura Y' ́3+1, 31+v=Y3, x1 + i . A . yz, x1 + i. (i—1). A2. yz, z + etc. 1.2 Supposons maintenant qu'au lieu d'interpoler suivant les différences de la fonction y.,, on veuille interpoler suivant d'autres lois. Pour cela, soit Nous supposerons ici que le coefficient 7 de la puissance la plus 1 t élevée de est constant ou indépendant de t', et que cette puissance est égale ou plus grande que la somme des puissances de et de dans chacun des autres termes de z. Il est facile de |