conclure de l'équation précédente, comme dans le no 5, les valeurs 1 1 1 successives de ++, etc., en fonctions de a, b, c, th +2 tn+39 b, c, etc. et z; et il est visible que dans chaque terme de l'expression de 1 , la puissance la plus élevée de sera moindre que n, et la somme des puissances de et de ne surpassera pas i. t Considérons maintenant la formule (A) du n° 5, et supposons qu'en développant suivant les puissances de, la quantité on ait I M+N.z+etc. + }; · ( M↔+ No.z+ etc) + /·(M+N.z+etc.)....+.M®; les puissances ultérieures de disparaissent d'elles-mêmes dans ce développement, puisque l'expression de ne doit point les contenir. Supposons pareillement qu'en développant la quantité on ait c.Z+cz.Zn++ etc. +e. Zn+a+ez. Zi2++etc. M.+N ̧.z+etc.+}; . (M+N.z+etc.)... ·+ ¿ï— ̧· M ̧(−1) ̧ Supposons encore qu'en développant la quantité e.Z++ etc. +etc., on ait 1 M2+N ̧.z+etc.+ ·(M+N“.z+etc.). . . . . + ¿ ¦ — · M (i—'); et ainsi de suite. La formule (A) du n° 5 donnera 2 le coefficient de t.t dans le développement de sera, par le numéro précédent, ".y+,+; l'équation précédente donnera par conséquent, en la multipliant par u, et en passant des fonctions génératrices à leurs coefficiens, 14. Si l'on suppose v.y, o, l'équation précédente donnera, en y faisant x=0, Y'1, z=M •yo, x/+M.y., 2+1+M · ƒ。, x'+ï···+M(i) •Yo, x'+i +M1y1, .+M,.y1, 2+1+M, ·y 1, +1..+M'i—') . y、, x/+i-i 'M®, M", M, etc. étant des fonctions de i et de r. L'expression précédente de yi, peut être mise sous cette forme très-simple, 51 l'intégrale étant prise depuis ro jusqu'à r=i+1 par rapport au premier terme, depuis r=1 jusqu'à r=i+1 par rapport au second terme, et ainsi de suite. Cette expression de y, sera l'inté grale complète de l'équation v.Yi, x = 0, ou o=A.yi,s+ B⋅yi+1, + C.Y1+s, /....... ... Il est visible que yo, y1, Y1, Y, sont les n fonctions arbitraires qu'introduit l'intégration de l'équation ▼ .y'1, 2=0. Pour les déterminer, il faut connaître immédiatement, ou du moins pouvoir conclure des conditions du problème, les n premiers rangs verticaux de la table suivante : Dans un grand nombre de problèmes, les n premiers rangs verticaux sont donnés par des équations aux différences finies linéaires, et par conséquent par une suite de termes de la forme A.p. Supposons que l'expression de y., contienne le terme Д.p'; la partie correspondante de y,, donnée par la formule (λ) sera 'A.p2' .( M+M©.p+M↔.p2... suivant les puissances de 1 ; en changeant donc dans cette dernière quantité, en p, et nommant P ce qu'elle devient alors; on aura A.P.p" pour la partie de y, qui répond au terme A. p. Il suit de là que si la valeur de yo, est égale à A.p2 + A'.p''+A".p"+etc., et que l'on nomme P', P", etc., ce que devient P, en y changeant p dans p', p", etc.; on aura pour la partie correspondante de y;, ' 9 A.P.p+A'. P'. p'2' + A''. P". p"'+ etc. On trouvera pareillement que si la valeur de Y1, est exprimée par B.q"'+B'.q''+B". q"*' + etc.; et si l'on nomme Q, Q', Q", etc., ce que devient la quantité c.Z++e.Z+etc. 14 lorsqu'on y change successivement en q, q', q", etc.; la partie. correspondante de y, z, sera B.Q.q' + B'.Q' •q'=' +B" .Q" •q" + etc., et ainsi de suite. La réunion de tous ces termes donnera l'expression de y1, x19 la plus simple à laquelle on puisse parvenir. 15. La valeur de y, donnée par la formule (λ) du numéro précédent, dépendant de la connaissance de M, M ̧(~'), etc. ; il est visible que ces quantités seront connues, lorsque l'on aura le coefficient de dans le développement de Z; tout se réduit donc à déterminer ce coefficient. On a par le n° 5, |