u ciens, nous observerons, 1°. que le coefficient de t°.ť dans est y','; 2°. que ce même coefficient, dans un terme quelconque, .tel que u.(—b)', ou u.b'. ou u.b'. (¿¿—1)', est b'.'A'.(Yo'), la caractéristique '▲ des différences se rapportant à la variabilité de x', et cette variable devant être supposée nulle après les différentia bť tions; tions; 3°. que ce coefficient dans u.(-—a), est a'. A'. (21), la caractéristique ▲ se rapportant à la variabilité de, et cette variable devant être supposée nulle après les différentiations; on aura donc avec ces conditions, c'est l'intégrale complète de l'équation (b) aux différences partielles. Il est clair que cette intégrale suppose que l'on connaît le premier rang horizontal et le premier rang vertical de la table (Q) du n° 14. 17. L'expression précédente de y, offre cela de remarquable, savoir , que les caractéristiques ▲ et 'A des différences finies, ont pour exposans, les variables x et x'. En voici un autre exemple. Considérons l'équation aux différences partielles la caractéristique A se rapportant à la variable x dont l'unité est la différence, et la caractéristique 'A se rapportant à la variable x′ dont a est la différence. L'équation génératrice correspondante sera, par le numéro précédent, b • = ( ); −1)"'+ & ; ( − 1 )" ̄`·. (~-—_—1) + "); · (−1) · (~—-—1) +etc. Cette équation donne les n suivantes =(−1). tax + etc. En repassant des fonctions génératrices aux coefficiens, on aura Y`2, z/=(—1)* . {—-—- •Yo,x'+ax-x. 2. (1 + 2) · Jo,x+2(x-1)+etc. }. • α I a Le second membre de cette équation peut être mis sous la En désignant donc par la fonction arbitrairc (x') la quantité J=,==(1+2) *.(-2)2.'A2. © (x'). Cette valeur satisfait donc à l'équation proposée aux différences partielles. Il est visible que chacune des racines q', q', etc., fournit une valeur semblable, dans laquelle on peut introduire une autre arbitraire. Nous désignerons par 9,(x′), ?,(x'), etc. ces nouvelles arbitraires. La réunion de toutes ces valeurs satisfera à l'équation proposée, parce qu'elle est linéaire, et cette réunion en sera l'intégrale complète qui est ainsi, Si l'on suppose a infiniment petit et égal à dx'; si l'on observe d'ailleurs que comme il est facile de s'en convaincre, en prenant les logarithmes de chaque membre de cette équation, on aura c'est l'intégrale complète de l'équation aux différences partielles finies et infiniment petites, o=A*·‚3⁄4‚«‚»+a. A ̃ ̄`·. (d-/-/-)+6.4. (":")+etc. dx' dx'2 Toutes les équations aux différences partielles que nous avons examinées jusqu'ici, n'ont point de dernier terme indépendant de la variable principale. Si elles en avaient, on y aurait égard, et l'on intégrerait ces équations par la méthode que nous avons donnée pour cet objet, relativement aux équations aux simples différences, et qu'il est facile d'appliquer aux équations à différences partielles. Théorèmes sur le développement en séries, des fonctions de plusieurs variables. 18. Si l'on applique aux fonctions de plusieurs variables, la méthode du n° 11; on aura sur le développement de ces fonctions en séries, des théorèmes analogues à ceux du n° 10. Considérons la fonction génératrice u. forme 1 [t.t.". etc. - 1]', et donnons-lui cette u . [(1 + ¦ − 1). (1 + } − 1). (1 + — — 1). etc.— 1]; u. u étant supposé une fonction de t, t', t", etc., dans le développement de laquelle yx, x', x", etc. est le coefficient de t.t''.'" .etc. Ce coefficient dans le développement de u. x′′, 1 [t...etc. t.t'.t". etc. sera ▲".Yx,x",x", etc., x, x', x", etc. étant supposés varier de l'unité dans Yx, x', x“, etc.· Ce même coefficient, dans le développement de la fonction génératrice sera u . ( − 1 )'. (;) — 1)". (~ — 1)"′′. etc., "AT."A".""A"".etc.yx, x', x′′, etc. › les caractéristiques 'A, "A, "A, etc. se rapportant respectivement aux variables x, x', x", etc.; on aura donc, en repassant des fonctions génératrices à leurs coefficiens, A".yx, x', x", etc. = ((1+'A. yx, x', x", etc.). (1+"A.Jx, x, x", etc.)) pourvu que dans le développement du second membre de cette équation, on applique aux caractéristiques 'A, "A, etc., les exposans des puissances de 'A.Jx, x', x", etc., "A.Jx, x', x", etc., etc. En changeant n dans-n, la même équation subsiste encore, pourvu que l'on change, comme dans les n° 10 et 11, les caractéristiques ▲, 'A, "A, etc., lorsqu'elles ont un exposant négatif, en intégrales finies correspondantes, les signes Σ, 'E,"Z, etc. étant les caractéristiques des intégrales, correspondantes aux caractéristiques A, 'A, "A, etc. des différences. 1 Il est clair que u.[7" etc. — 1]" est la fonction génératrice de la différence finie nième de yx, x, x", etc., x variant de i, x' variant de i', x" variant de i", etc.; or on a |