En considérant ainsi l'intégrale Sdx.(1 —x)', lorsque n et s sont des nombres entiers, et lorsqu'elle est prise depuis x nul jusqu'à x=1, il trouva qu'elle est égale à

Si les indices

1.2.3.....n S+I.S+2....s+n n et s sont fractionnaires et égaux à, cette intégrale exprime le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre. Wallis s'attacha donc à interpoler le produit précédent, dans le cas où net s sont des nombres fractionnaires; problème entièrement nouveau à l'époque où cet illustre Géomètre s'en occupa, et qu'il parvint à resoudre par une méthode fort ingénieuse qui contient les germes des théories des interpolations et des intégrales définies, dont les géomètres se sont tant occupés, et qui sont l'objet d'une grande partie de cet ouvrage. Il obtint de cette manière, l'expression du rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre, par un produit d'une infinité de facteurs, qui donne des valeurs de plus en plus approchées de ce rapport, à mesure que l'on considère un plus grand nombre de ces facteurs; résultat l'un des plus singuliers de l'analyse. Mais il est remarquable que Wallis qui avait si bien considéré les indices fractionnaires des puissances radicales, ait continué de noter ces puissances, comme on l'avait fait avant lui. On voit la notation des puissances radicales, par les exposans fractionnaires, employée pour la première fois, dans les lettres de Newton à Oldembourg, insérées dans le Commercium Epistolicum. Encomparant par la voie de l'induction dont Wallis avait fait un si bel usage, les exposans des puissances du binome, avec les coefficiens des termes de son développement, dans le cas où ces exposans sont des nombres entiers; il détermina la loi de ces coefficiens, et il l'étendit par analogie, aux puissances fractionnaires et aux puissances négatives. Ces divers résultats fondés sur la notation de Descartes, montrent l'influence d'une notation heureuse sur toute l'analyse.

Cette notation a encore l'avantage de donner l'idée la plus simple et la plus juste des logarithmes qui ne sont en effet, que les exposans entiers et fractionnaires d'une même grandeur dont les diverses puissances représentent tous les nombres. Mais l'extension la plus importante que cette notation ait reçue, est celle des exposans variables; ce qui constitue le calcul exponentiel, l'une des branches

les plus fécondes de l'analyse moderne. Leibnitz a indiqué le premier, dans les Actes de Leipsic pour 1682, les transcendantes à exposans variables, et par là il a complété le système des élémens dont une fonction finie peut être composée. Car toute fonction finie explicite se réduit en dernière analyse, à des grandeurs simples, ajoutées ou soustraites les unes des autres, multipliées ou divisées entr'elles, élevées à des puissances constantes ou variables. Les racines des équations formées de ces élémens, en sont des fonctions implicites. C'est ainsi que c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, le logarithme de a est la racine de l'équation transcendante cao. On peut considérer encore les quantités logarithmiques, comme des fonctions exponentielles dont les exposans

dx

1

Toutes

sont infiniment petits. Ainsi X log X' est égal à les modifications de grandeur que l'on peut concevoir aux exposans, se trouvent donc représentées par les quantités exponentielles, algébriques et logarithmiques. Ces quantités et leurs fonctions embrassent par conséquent, toutes les fonctions finies explicites; et les racines des équations formées de fonctions semblables, embrassent toutes les fonctions finies implicites.

Ces quantités sont essentiellement distinctes: l'exponentielle a*, par exemple, ne peut jamais être identique avec une fonction algébrique de x. Car toute fonction algébrique est réductible dans une série descendante de la forme k.x"+ k'.x"-"'+ etc. : or il est facile de démontrer que a étant supposé plus grand que l'unité, et x étant infini, a est infiniment plus grand que kx", quelque grands que l'on suppose k et n. Pareillement, il est aisé de voir que dans le cas de x infini, x est infiniment plus grand que k (log x )". Les fonctions exponentielles, algébriques et logarithmiques d'une variable indéterminée, ne peuvent donc pas rentrer les unes dans les autres les quantités algébriques tiennent le milieu entre les exponentielles et les logarithmiques; les exposans, lorsque la variable est infinie, pouvant être considérés comme infinis dans les exponentielles, finis dans les quantités algébriques, et infiniment petits dans les quantités logarithmiques.

On peut encore établir en principe, qu'une fonction radicale d'une

variable, ne peut pas être identique avec une fonction rationnelle de la même variable, ou avec une autre fonction radicale. Ainsi (1+x3)3, est essentiellement distinct de (1+x3), et de (1+x)1.

Ces principes fondés sur la nature même des fonctions, peuvent être d'une grande utilité dans les recherches analytiques, en indiquant les formes dont les fonctions que l'on se propose de trouver, sont susceptibles, et en démontrant leur impossibilité dans un grand nombre de cas; mais alors il faut être bien sûr de n'omettre aucune des formes possibles. Ainsi la différentiation laissant subsister les quantités exponentielles et radicales, et ne faisant disparaître les quantités logarithmiques, qu'autant qu'elles sont multipliées par des constantes; on doit en conclure que l'intégrale d'une fonction différentielle ne peut renfermer d'autres quantités exponentielles et radicales, que celles qui sont contenues dans cette fonction. Par ce moyen, j'ai reconnu que l'on ne peut pas obtenir en fonction finie

explicite ou implicite de la variable x, l'intégrale fter the

J'ai démontré pareillement que les équations linéaires aux différences partielles du second ordre entre trois variables, ne sont pas le plus souvent, susceptibles d'être intégrées sous une forme finie; ce qui m'a conduit à une méthode générale pour les intégrer sous cette forme, lorsqu'elle est possible. Dans les autres cas, on ne peut obtenir une intégrale finie, qu'au moyen d'intégrales définies.

Leibnitz ayant adapté au calcul différentiel, une caractéristique très-commode, il imagina de lui donner les mêmes exposans qu'aux grandeurs ; mais alors, ces exposans, au lieu d'indiquer les multiplications répétées d'une même grandeur, indiquent les différentiations répétées d'une même fonction. Cette extension nouvelle de la notation cartésienne, conduisit Leibnitz à ce théorème remarquable, savoir, que la différentielle nime d'un produit xyz. etc., est égale à (dx+dy+dz + etc)", pourvu que dans le développement de ce polynome, on applique à la caractéristique d, les exposans des puissances de dx, dy, dz, etc., et qu'ainsi l'on écrive d'x.d'y.dz.etc., au lieu de (dx).(dy)". (dz)". etc., en ayant soin de changer d'x, d'y, d°z, etc., en x, y, z, etc. Ce grand Géomètre

observa de plus, que ce théorème subsiste, en y supposant n négatif, pourvu que l'on change les différentielles négatives en intégrales. Lagrange a suivi cette analogie singulière des puissances et des différences, dans tous ses développemens; et par une suite d'inductions très-fines et très-heureuses, il en a déduit des formules générales aussi curieuses qu'utiles, sur les transformations des différences et des intégrales les unes dans les autres, lorsque les variables ont des accroissemens finis divers, et lorsque ces accroissemens sont infiniment petits. Son mémoire sur cet objet, inséré dans le Recueil de l'Académie de Berlin pour l'année 1772, peut être regardé comme une des plus belles applications que l'on ait faites, de la méthode des inductions. La théorie des fonctions génératrices étend à des caractéristiques quelconques, la notation cartésienne : elle montre en même temps, avec évidence, l'analogie des puissances et des opérations indiquées par ces caractéristiques; et nous allons voir tout ce qui concerne les séries, et l'intégration des équations linéaires aux différences, en découler avec une extrême facilité.

CHAPITRE

9

CHAPITRE PREMIER.

Des Fonctions génératrices, à une variable.

y, une fonction quelconque de x; si l'on forme la suite

I

on peut toujours concevoir une fonction de t, qui développée suivant les puissances de t, donne cette suite: cette fonction est ce que je nomme fonction génératrice de y..

La fonction génératrice d'une variable quelconque y., est donc généralement une fonction de t, qui développée suivant les puissances de í, a cette variable pour coefficient de t; et réciproquement, la variable correspondante d'une fonction génératrice, est le coefficient de te dans le développement de cette fonction suivant les puissances de t; ensorte que l'exposant de la puissance de t, indique le rang que la variable y occupe dans la série que l'on peut concevoir prolongée indéfiniment à gauche, relativement aux puissances négatives de t.

Il suit de ces définitions, que u étant la fonction génératrice de y, celle de y+, est; car il est visible que le coefficient de t dans est égal à celui de dans u; par conséquent il est égal àys+i.

u

Le coefficient de ť dans u.(-1) est donc égal à Y2+1—Y1⁄2, ou à la différence des deux quantités consécutives y+1 ety, différence que nous désignerons par A.y., A étant la caractéristique des différences finies. On a donc la fonction génératrice de la diffé