remarquable fdt.c. Vπ. 25. On peut en vertu de la généralité de l'analyse, étendre les résultats précédens, au cas où t est imaginaire. Considérons l'intégrale fdx.cos rx.c-ax, prise depuis x nul jusqu'à x infini. On peut la mettre sous cette forme .fdx.c―a2x2+rx.V=1+.fdx.c―a2x2-rx, V=; L'intégrale sdx.c—a2x2+rx. V est égale à 2a íci l'intégrale relative à t doit être prise depuis t=jusqu'à t infini, parce que ces deux limites répondent à x nul et à x infini. En faisant r négatif dans cette formule, on aura l'expression de l'intégrale fdx.c-a'xrxV; mais dans ce cas, les limites de rv1, et t infini; la réunion de l'intégrale relative à t sont t= = 24 l'intégrale étant prise depuis t➖➖∞ jusqu'à t =∞; car la première intégrale ajoute à la seconde, ce qui lui manque pour former la moitié de l'intégrale prise entre les deux limites infinies; or L'analyse qui vient de nous conduire à ce résultat, est fondée sur le passage du réel à l'imaginaire; car on y traite les intégrales relatives à t et prises entre deux limites, dont une est imaginaire et l'autre est infinie, comme si ces limites étaient toutes réelles. Mais on peut parvenir à ce résultat de la manière suivante. Nommons y l'intégrale fdx.cos rx.c-ax, prise depuis x nul jusqu'à x infini; on aura on aura donc, en prenant l'intégrale depuis nul jusqu'à x B étant une constante arbitraire que l'on déterminera en observant quer étant nul, on a y=B=fdx.c-a1x3. Cette dernière intégrale est, par le numéro précédent, ce qui est conforme au résultat trouvé ci-dessus du réel à l'imaginaire. En différentiant 27 fois par rapport à r, on aura le signe ayant lieu si n est pair, et le signe―si n est impair. Cette dernière équation différentiée par rapport à r, donne En intégrant une fois par rapport à r, l'expression de fdx.cos rx.c―a2x2, dr Lorsque a est nul, ♫ devient infini, et l'intégrale fr a 20 prise 26. On peut de là conclure les valeurs de quelques intégrales définies singulières auxquelles j'ai été conduit, comme on le verra dans la suite, par le passage du réel à l'imaginaire. Considérons la double intégrale ff2dx.ydy.c-y.(1+x2). COS rx, les intégrales étant prises depuis x et y nuls jusqu'à x et y infinis. En l'intégrant d'abord par rapport à y, elle devient Intégrons-la maintenant par rapport à x. On a par le numéro précédent, Il s'agit maintenant d'avoir cette dernière intégrale prise depuis y nul jusqu'à y infini. Pour cela, donnons-lui cette forme, 99 r étant supposé positif, la quantité (2+) a un minimum qui 2y ce qui donne er pour ce minimum; soit y = • z + • Vz2+2r; y devant s'étendre depuis y = o jusqu'à y = ∞, z doit s'étendre depuis z∞ jusqu'à z∞. Cette valeur de donne En prenant les intégrales depuis z=∞ jusqu'à z=∞, on a prise depuis y nul jusqu'à y infini, et par conséquent aussi dans les mêmes limites, l'intégrale de là il est facile de conclure la valeur de l'intégrale prise depuis x=∞ jusqu'à +bx').dx'.[cos(rx'.√ m—n2). cos rn+sin (rx'. √ m—n2). sin rn} Cette intégrale doit être prise comme celle relative à x,depuis x'—— ∞ 'x'dx'. cos (rx'. Vm- — n2) jusqu'à x' =∞; or l'intégrale f'd prise dans ces limites, est nulle; parce que ses élémens négatifs détruisent ses élémens positifs correspondans; il en est de même de l'inté grale fdr.sin(rx'. Vm-n2); la fonction intégrale précédente se ré duit donc à [a'.cos rn.cos (rx'.√m—n2) +b. sin rn.sin (rx'. √m—n2)]x'. dx' On a par ce qui précède, En différentiant cette expression par rapport à r, on a |