duisirent à intégrer généralement les différentielles monomes; d'où il conclut les intégrales définies d'un genre particulier de différentielles binomes dont l'exposant est un nombre entier positif. En observant ensuite la loi des nombres qui expriment ces intégrales, une série d'interpolations et d'inductions heureuses où l'on aperçoit le germe du calcul des intégrales définies, qui a tant exercé les géomètres, et l'une des bases de ma nouvelle Théorie des Probabilités, lui donna le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre, exprimé par un produit infini qui, lorsqu'on l'arrête, resserre ce rapport dans des limites de plus en plus rapprochées ; résultat l'un des plus singuliers de l'Analyse. Mais il est remarquable que Wallis qui avait si bien considéré les exposans fractionnaires des puissances radicales, ait continué de noter ces puissances, comme on l'avait fait avant lui. Newton, si je ne me trompe, employa, le premier, dans ses Lettres à Oldembourg, lanotation de ces puissances, par des exposans fractionnaires. En comparant par la voie de l'induction dont Wallis avait fait un si bel usage, les exposans des puissances du binome, avec les coefficiens des termes de son développement, dans le cas où cet exposant est entier et positif, il détermina la loi de ces coefficiens, et il l'étendit par analogie, aux puissances fractionnaires et négatives. Ces divers résultats fondés sur la notation de Descartes, montrent son influence sur les progrès de l'Analyse. Elle a encore l'avantage de donner l'idée la plus simple et la plus juste des logarithmes qui ne sont, en effet, que les exposans d'une grandeur dont les puissances, en croissant par degrés infiniment petits, peuvent représenter tous les nombres.

Mais l'extension la plus importante que cette notation

ait reçue, est celle des exposans variables; ce qui constitue le calcul exponentiel, l'une des branches les plus fécondes de l'Analyse moderne. Leibnitz a indiqué, le premier, les transcendantes à exposans variables par-là, il a complété le système des élémens dont une fonction finie peut être composée; car toute fonction finie, explicite d'une variable, se réduit, en dernière analyse, à des grandeurs simples, combinées par voie d'addition, de soustraction, de multiplication et de division, et élevées à des puissances constantes ou variables. Les racines des équations formées de ces élémens, sont des fonctions implicites de la variable. C'est ainsi qu'une variable ayant pour logarithme, l'exposant de la puissance qui lui est égale dans la série des puissances du nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, le logarithme d'une variable en est une fonction implicite.

Leibnitz imagina de donner à sa caractéristique différentielle les mêmes exposans qu'aux grandeurs; mais alors, ces exposans, au lieu d'indiquer les multiplications répétées d'une même grandeur, indiquent les différentiations répétées d'une même fonction. Cette extension nouvelle de la notation cartésienne, conduisit Leibnitz à l'analogie des puissances positives avec les différentielles, et des puissances négatives avec les intégrales. Lagrange a suivi cette analogie singulière, dans tous ses développemens; et par une suite d'inductions, qui peut être regardée comme une des plus belles applications que l'on ait faites de la méthode d'induction, il est parvenu à des formules générales aussi curieuses qu'utiles, sur les transformations des différences et des intégrales les unes dans les autres, lorsque les variables ont des accroissemens finis divers, et lorsque ces accroissemens sont infiniment petits. Mais il n'en a point donné

les démonstrations qu'il jugeait difficiles. La théorie des fonctions génératrices étend à des caractéristiques quelconques, la notation cartésienne : elle montre avec évidence, l'analogie des puissances et des opérations indiquées par ces caractéristiques; en sorte qu'elle peut encore être envisagée comme le calcul exponentiel des caractéristiques. Tout ce qui concerne les séries et l'intégration des équations aux différences, en découle avec une extrême facilité.

APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS.

Des jeux.

Les combinaisons que les jeux présentent, ont été l'objet des premières recherches sur les probabilités. Dans l'infinie variété de ces combinaisons, plusieurs d'entre elles se prêtent avec facilité au calcul : d'autres exigent des calculs plus difficiles ; et les difficultés croissant à mesure que les combinaisons deviennent plus compliquées, le désir de les surmonter et la curiosité ont excité les géomètres à perfectionner de plus en plus ce genre d'analyse. On a vu précédemment que l'on pouvait facilement déterminer par la théorie des combinaisons, les bénéfices d'une loterie. Mais il est plus difficile de savoir en combien de tirages on peut parier un contre un, par exemple, que tous les numéros seront sortis. n étant le nombre des numéros, r celui des numéros sortans à chaque tirage, et i le nombre inconnu de tirages; l'expression de la probabilité de la sortie de tous les numéros, dépend de la différence finie nième de la puissance i d'un produit de r nombres consécutifs. Lorsque le nombre n est considérable, la recherche de

la valeur de i, qui rend cette probabilité égale à, devient impossible, à moins qu'on ne convertisse cette différence, dans une série très-convergente. C'est ce que l'on fait heureusement par la méthode ci-dessus indiquée pour les approximations des fonctions de trèsgrands nombres. On trouve ainsi que la loterie étant composée de dix mille numéros dont un seul sort à chaque tirage, il y a du désavantage à parier un contre un, que tous les numéros sortiront dans 95767 tirages, et de l'avantage à faire le même pari pour 95768 tirages. A la loterie de France, ce pari est désavantageux pour 85 tirages, et avantageux pour 86 tirages.

Considérons encore deux joueurs A et B jouant ensemble à croix ou pile, de manière qu'à chaque coup, si croix arrive, A donne un jeton à B qui lui en donne un, si pile arrive : le nombre des jetons de B est limité, celui des jetons de A est illimité; et la partie ne doit finir que lorsque B n'aura plus de jetons. On demande en combien de coups, on peut parier un contre un, que la partie sera terminée. L'expression de la probabilité que la partie sera terminée dans un nombre i de coups, est donnée par une suite qui renferme un grand nombre de termes et de facteurs, si le nombre des jetons de B est considérable; la recherche de la valeur de l'inconnue i qui rend cette suite égale à, serait donc alors impossible, si l'on ne parvenait pas à réduire la suite dans une série très-convergente. En lui appliquant la méthode dont on vient de parler, on trouve une expression fort simple de l'inconnue, de laquelle il résulte que si, par exemple, B a cent jetons, il y a un peu moins d'un contre un à parier que la partie sera finie en 23780 coups, et un peu plus d'un contre un à parier qu'elle sera finie dans 23781 coups.

Ces deux exemples, joints à ceux que nous avons déjà donnés, suffisent pour faire voir comment les problèmes sur les jeux ont pu contribuer à la perfection de l'Analyse.

Des inégalités inconnues qui peuvent exister entre les chances que l'on suppose égales,

Les inégalités de ce genre ont sur les résultats du calcul des probabilités, une influence sensible qui mérite une attention particulière. Considérons le jeu de croix ou pile, et supposons qu'il soit également facile d'amener l'une ou l'autre face de la pièce. Alors la probabilité d'amener croix au premier coup est, et celle de l'amener deux fois de suite, est 4. Mais s'il existe, dans la pièce, une inégalité qui fasse paraître une des faces plutôt que l'autre, sans que l'on connaisse quelle est la face favorisée par cette inégalité, la probabilité d'amener croix au premier coup sera toujours; parce que dans l'ignorance où l'on est de la face que cette inégalité favorise, autant la probabilité de l'événement simple est augmentée, si cette inégalité lui est favorable, autant elle est diminuée, si l'inégalité lui est contraire. Mais dans cette ignorance même, la probabilité d'amener croix deux fois de suite, est augmentée. En effet, cette probabilité est celle d'amener croix au premier coup, multipliée par la probabilité que l'ayant amené au premier coup, on l'amenera au second; or son arrivée au premier coup est un motif de croire que l'inégalité de la pièce le favorise ; l'inégalité inconnue augmente donc alors la probabilité d'amener croix au second coup; elle accroît par conséquent le produit des deux probabilités. Pour soumettre cet objet au calcul, supposons