Si l'on compare cette équation à la formule (q') du numéro précédent, on a ce résultat remarquable, Je suis parvenu à cette équation générale, dans les Mémoires de l'Académie des sciences pour l'année 1782, par l'analyse précédente, fondée, comme on voit, sur le passage du réel à l'imaginaire. En faisant successivement dans Q, u=1, μ=2, μ=3, etc. on aura les valeurs d'un nombre infini d'intégrales définies; ainsi dans le cas de μ-1, l'équation (O) donne formule que j'ai donnée pareillement dans les Mémoires cités. Cette formule et toutes celles du même genre peuvent se vérifier par les formules du no 26; car on a pour ce numéro, dx.c-x Nous observerons ici, comme dans les Mémoires cités, que da. efda. χμ étant égal à V .ЛQdw; on a, en substituant au lieu de fQda, la première intégrale étant prise entre les deux valeurs imaginaires de x qui rendent nulle la quantité, et les deux autres inté grales étant prises depuis x nul jusqu'à x infini; ce qui donne un moyen facile de transformer dans celles-ci les intégrales da dx. sin. x хи 34. Considérons maintenant l'équation générale o=(a'+b's). Ys+ı — (a+bs). y,· +fx-'.[7dx.(n'x— np) + (p −x). x. d¤]. Cette équation donne pour déterminer, la suivante o=(n'x— np).@dx+(p―x).x.do, 0= d'où l'on tire en intégrant, Q=A.x". (p—x)"'—", A étant une constante arbitraire. On aura ensuite ner les limites de l'intégrale, l'équation pour détermi Ces limites sont donc xo et x=p, si n+s et n'+1-n sont des quantités positives. Ainsi l'on aura, en prenant l'intégrale dans ces limites, On déterminera la constante A au moyen d'une valeur particulière de y's : soit Y cette valeur, on aura Ун Intégrons présentement l'équation proposée aux différences en y,: son intégrale est Dans cette expression, comme dans toutes celles formées de produits, les facteurs du numérateur ne commencent que pour la valeur de s qui rend le dernier facteur égal au premier, ce qui a lieu ici lorsque s est égal à μ+1; il en est de même des facteurs du dénominateur. Pour la valeur de s égale à μ, le numérateur et le dénominateur se réduisent à l'unité qui est censée les multiplier l'un et l'autre. Si l'on compare les deux expressions précédentes de y,, on aura Faisons p-x=pu'; le second membre de cette équation deviendra les intégrales étant prises depuis u=o jusqu'à u=1, parce que ces limites répondent aux limites x=p et x=o. On a donc Le premier membre de cette équation est le coefficient du terme moyen ou indépendant de a, du binome (+a)" ; on aura donc, au moyen des méthodes précédentes, ce coefficient, par une approximation rapide, lorsque s est un grand nombre. Pour cela, nous ferons =a. t. [1+a. q. t2+a2. q3).t+a3.q3). t° + etc.]. En prenant les différences logarithmiques des deux membres de cette équation, on aura 1+3a.q(1). 12+5a2. q3). 1+7 a3. q(3), t°+ etc. t+a. q.t+a3. q2), t3+a3. q3), t'+ etc. . ce dernier membre est égal à at.c -༞t: Xx; On aura donc, en comparant cette quantité au premier membre, et réduisant au même dénominateur, l'équation générale 9 étant égal à l'unité. Si l'on fait successivement dans cette équation, i=1, i=2, i=3, etc. on aura les valeurs successives q", q, q), etc. et l'on trouvera (3) fdu. (1—u") ' — ' —¤1. fdt.c ̄" [1+3a.q.1'+5a2. q. 1'+7a".q®.1'+etc.]. 2 L'intégrale relative à u devant être prise depuis u=o jusqu'à u =1, l'intégrale relative à t doit être prise depuis t nul jusqu'à t infini; on aura donc par le n° 24 Ainsi l'on aura par une suite très-convergente, le terme moyen ou indépendant de a, du binome (+a)". On parviendra plus simplement à ce résultat, par la méthode suivante, qui peut s'étendre à un polynome quelconque. nome (+a)", 35. Nommons y,, le terme moyen ou indépendant de a, du bi, ou, ce qui revient au même, le terme indépendant de c**V ̄ ̄1, dans le développement du binome (c®V=1 +c ̄¤V=1)». Si l'on multiplie ce développement par da, et qu'on l'intègre |