en sorte que yr, est le coefficient de t' dans le développement de cette fonction; (1) est une fonction de t qu'il s'agit de dé

la fonction génératrice de y,, sera le coefficient de t' dans le développement de la fonction (a); elle sera donc

(t). t. T1.

La probabilité que la partie finira précisément au coup x est évidemment la somme des probabilités de chaque joueur pour la gagner à ce coup; elle est donc

par conséquent la fonction génératrice de cette probabilité est T.Ç (t).(2 +tT+t'T'. . . . — t'—'T'—' ),

En l'égalant à la fonction génératrice de cette probabilité, que nous avons trouvée ci-dessus, et qui est

Cette expression vetend depuis r=9 jusqu'à 7=1—1. qu'on y change y, dans v,,y, exprimant la probabilite de gagner la partie, des deux premiers joueurs au moment où ils entrent su jou.

Maintenant, chaque joueur perdant déposant un franc au jeu, déterminous Favantage des différents joueurs. Il est clair qu'après a coups il y avait a jetons au jeu; l'avantage du joueur (r) relatif a ces a jetons est le produit de ces jetons par la probabilité y.. de gagner la partie au coup a; cet avantage est donc x. y. La

x

valeur de x. y,, est le coefficient de 1. dt dans la différentielle de la fonction génératrice de y,,; en divisant donc cette différentielle par dt, et en y supposant ensuite 1=1, on aura la somme de toutes les valeurs de x. yr, jusqu'à x infini: c'est l'avantage du joueur (r). Mais il faut en retrancher les jetons qu'il met au jeu à chaque coup qu'il perd; or y, étant sa probabilité de gagner la partie au coup ≈, 2". Yr,-+1 sera sa probabilité d'entrer au jeu, au coup x-n+1, n+1, puisque cette dernière probabilité, multipliée par la probabilité, qu'il gagnera ce coup et les n n-1 coups suivants, est sa probabilité de gagner la partie au coup x. En supposant donc qu'il perde autant de fois qu'il entre au jeu, la somme de toutes les valeurs de 2". Yr,xn+1 jusqu'à x infini serait le désavantage du joueur (r); et comme la somme de toutes les valeurs est égale à la somme de toutes les valeurs de y,,, ou à 2".(1-p).p' 2-p-p"

r,xn+1

de yra yr, on aurait 2". Yr, ou pour le désavantage du joueur (r). Mais il ne perd pas chaque fois qu'il entre au jeu, parce qu'il peut entrer au jeu et gagner la partie; il faut donc ôter de 2". la somme de toutes les valeurs de y, ou y,, et alors le désavantage

de (r) est (2”—1).(1—p).P”. Pour avoir l'avantage entier de (r), il

2-p-p"

faut retrancher cette dernière quantité, de la somme des valeurs de x. yr,; en désignant donc par S cette somme, l'avantage du joueur (r) sera

S étant, comme on l'a vu, la différentielle de la fonction génératrice de y,,, divisée par dt, et dans laquelle on suppose ensuite t=1. Dans cette supposition, on a

Désignons par Y, l'avantage de (r), on trouvera

Cette équation servira depuis ro jusqu'à r=

r=n rn-1, pourvu que l'on y change Y, dans Y., Y, étant l'avantage des deux premiers joueurs, au moment où ils entrent au jeu.

0

Si, au commencement de la partie, chacun des joueurs dépose au jeu une somme a, l'avantage du joueur (r) en sera augmenté de (n+1).a, multiplié par la probabilité y,, que ce joueur gagnera la partie; mais il faut en ôter la mise a de ce joueur; il faut donc, pour avoir alors son avantage, augmenter l'expression précédente de Y,, de la quantité

Lorsque l'avantage de (r) devient négatif, il se change en désavantage.

12. Soit q la probabilité d'un événement simple à chaque coup, on demande la probabilité de l'amener i fois de suite dans le nombre x de coups.

Zx

Nommons z, la probabilité que cet événement composé aura lieu précisément au coup x. Pour cela, il est nécessaire que l'événement simple n'arrive point au coup x—i, et qu'il arrive dans les i coups suivants, l'événement composé n'étant point arrivé précédemment. Soit alors P la probabilité que l'événement simple n'arrivera point au coup x— ¡—1. La probabilité correspondante qu'il n'arrivera point au coup x-i sera (1—q). P; et la probabilité correspondante que l'événement composé aura lieu précisément au coup x sera (1−q). P. qi : ce sera la partie q': de Zx correspondante à ce cas. Mais la probabilité que l'événement composé arrivera au coup x-1 est évidemment P. q'; on a donc

ainsi la valeur partielle dez, relative à ce cas, est (i—q).~,—1· Considérons maintenant les cas où l'événement simple arrivera au coup x-i-1. Nommons P' la probabilité qu'il n'arrivera pas au coup x-i-2; la probabilité qu'il arrivera dans ce cas au coup x i— 1 sera q.P′, et la probabilité qu'il n'arrivera pas au coup x―i sera (1----q).q. P'; la valeur partielle de z ̧ relative à ce cas sera donc (1-q).q.P'.q. Mais la probabilité que l'événement composé arrivera précisément au coup x-2 est P'.qi : c'est la valeur de z; ce qui donne

(1-9).q.2, est donc la valeur partielle de z, relative au cas où l'événement simple arrivera au coup x-i-1, sans arriver au coup x—i—2.

On trouvera de la même manière que (1-q).q.z1—, est la valeur partielle de z, relative au cas où l'événement simple arrivera au coup x. i-1 —1 et x—i—2, sans arriver au coup x-i-3;

et ainsi de suite.

En réunissant toutes ces valeurs partielles de z, on aura

22— (1—9). (2x-1+9. 2 x2 +92. Zx - ... +qi—'. 2x-i) ·

Il est facile d'en conclure que la fonction génératrice de z, est

La fonction(t) doit être déterminée par la condition qu'elle ne