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Introduction.

Dans le calcul des constantes linéaires des clichés astrophotographiques à l'aide des étoiles de repère (allem. Anhaltsterne) situées sur les clichés, on a suivi en général deux méthodes différentes. La première, que nous appellerons dans la suite la méthode de TURNER, établit simplement pour la détermination des constantes des clichés, des équations de la forme

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dans lesquelles ket k, désignent les corrections du centre, et n, n, les différences entre les ny coordonnées rectilignes mesurées et les mêmes coordonnées calculées des étoiles de repère. Les quantités a et b contiennent alors pour les coordonnées x toutes les corrections de l'échelle, de l'orientation, de la réfraction, de l'aberration, ainsi que de la précession et de la nutation, en tant que ces corrections peuvent être supposées linéaires; les quantités c et d sont les corrections correspondantes des coordonnées y. Le procédé de TURNER conduit donc à deux systèmes d'équations séparés, l'un pour x, l'autre pour y, et a par conséquent pour objet de calculer séparément les constantes de chacune des deux coordonnées. L'autre méthode, que nous pouvons désigner par le nom de méthode de JACOBY par exemple, ramène les équations résultant des coordonnées x et y à un système commun, en calculant d'abord la réfraction, après quoi les équations de condition prennent la forme

(2)

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En effet, la correction de l'aberration opère d'une part un changement de la valeur d'échelle aussi grand pour x que pour y; d'autre part, elle provoque un changement de la constante de l'orientation; — la réduction à l'équinoxe a pour résultat unique un fait de cette dernière nature. Par conséquent, on peut, après avoir corrigé les n, et n, de la réfraction, égaler le coefficient de x dans la première des deux équations au coefficient de y dans la seconde, et vice versa. En faisant usage des égalités (2), on détermine donc quatre constantes par le moyen du même nombre d'équations qui dans le système (1) sert à en déterminer six.

En se servant de la méthode de TURNER, on a l'avantage de ne pas avoir à calculer l'influence de la réfraction sur les positions. De plus, on se débarrasse de l'incertitude du calcul de la réfraction; et enfin, on concède la possibilité de grandeurs différentes pour les deux coordonnées de la valeur de l'échelle et de la correction de l'orientation. Si au contraire on se base sur la seconde méthode pour le calcul de ces constantes, le nombre de données dont on doit tirer celles-ci se trouve augmenté; on arrive par conséquent à des résultats plus exacts, si toutefois on admet qu'il n'y ait pas de différence réelle entre les constantes A resp. B pour x et y. Le choix de la méthode à employer dépend donc en dernier lieu de la présence ou de l'absence présumée d'une telle différence. Si des faits de nature empirique nous forcent à concéder que la valeur de l'échelle ou la correction de l'orientation peuvent différer pour x et pour y, la méthode de TURNER est seule applicable; l'autre est alors simplement fausse. Si au contraire on n'admet pas cette idée, le procédé de JACOBY donne des résultats plus exacts; en d'autres termes, on renoncerait alors, en employant la méthode de TURNER, à tirer complètement profit de tous les matériaux fournis par l'observation.

Les méthodes relatées ci-dessus ont été toutes les deux appliquées dans la pratique. Dans tous les tomes du Catalogue photographique du ciel publiés par les observatoires français, les constantes provisoires sont données d'après une détermination tirée également des x et des y après élimination de la réfraction. Il en est de même pour les résultats publiés pour la zône de Catane. Les observatoires anglais et celui de Rome, au contraire, ont suivi le procédé de TURNER. A Helsingfors, les premières constantes calculées d'après les étoiles de repère ont été déterminées en supposant une échelle et une orientation identiques pour les deux coordonnées, tandis que l'amélioration des constantes par les calculs de rattachement a été faite pour x et pour y séparément. On a obtenu ainsi pour les constantes provisoires une indépendance aussi grande que possible des erreurs dans les positions des étoiles de repère, en même temps que les calculs de rattachement, plus subtils, ont laissé ouverte la possibilité de l'hypothèse d'une inégalité dans les constantes des deux coordonnées.

Il n'est pas facile de trancher a priori la question de l'existence réelle d'une différence dans la valeur de l'échelle p pour x et pour y. On peut fort bien supposer par exemple que pendant le développement, la couche sensible des plaques ne se soit pas contractée également dans les deux sens, ce qui motiverait absolument un traitement séparé des abscisses et des ordonnées. Il n'est pas déraisonnable non plus de penser à un effet différent pour x et y de la distorsion de l'objectif. D'autre part, si l'angle formé par les traits centraux n'est pas égal à 90°, on aurait des valeurs inégales de l'orientation r dans les abscisses et les coordonnées. Toutefois il est clair que les positions des étoiles de repère, prises en général d'après les zones de l'Astronomische Gesellschaft, étant assez peu nombreuses 1) et affectées d'erreurs probables assez grandes (0.050 pour a et 0".5 pour d), un calcul séparé des constantes pour les deux coordonnées doit évidemment produire une différence pour ainsi dire calculatoire. La discussion de matériaux d'observation d'étendue relativement restreinte ne peut donc point décider la question du pour et du contre.

1) 20 à 30 en moyenne par cliché.

Les auteurs qui ont discuté le problème n'ont en général pu se décider catégoriquement ni dans un sens ni dans l'autre, à cause des raisons mentionnées plus haut. M. DONNER, par exemple, en opérant sur divers clichés 1), a constaté qu'une différence P-P, ressort des calculs, et a tenté diverses explications du phénomène, tout en laissant aux recherches ultérieures la solution définitive du problème. RAYET 2) recommande de déterminer séparément p et r dans les deux coordonnées, surtout parce qu'une inclinaison éventuelle de la plaque contre l'axe optique du tube pourrait provoquer une différence de la valeur de l'échelle en x et en y. Dans une dissertation, M. ZURHELLEN 3) opte, au contraire, d'une manière très décidée pour la méthode de calcul de JACOBY. Il est d'avis que les erreurs des étoiles de repère jouent un rôle tellement important dans le calcul des constantes, que si l'on choisissait de nouvelles étoiles de repère, on pourrait obtenir un changement très notable de la différence des valeurs de l'échelle ou de l'orientation ressortant des calculs. Cependant il n'appuie pas sa thèse par des exemples numériques; ses recherches sont de nature purement théorique. Elles ne peuvent donc représenter une solution définitive du problème.

Le présent travail a pour but de contribuer à cette solution par l'apport de matériaux assez étendus d'observation et de calculs. Un hasard m'a amené à l'idée qu'il est facile de prouver que les différences -P1 et r-r, résultant d'un traitement séparé des conPx-Py stantes de chacune des deux coordonnées, ne dépendent que des erreurs dans les positions employées pour les étoiles de repère. Dans la suite, l'élaboration d'un nombre considérable de clichés a confirmé l'exactitude de cette théorie.

Afin d'obtenir des matériaux pour une recherche sur l'influence de l'inclinaison, je photographiai à trois reprises successives, le 23 avril 1908, le cliché no 412 de la zône de l'observatoire de Helsingfors dans le Catalogue photographique du ciel. En calculant les constantes de ces trois clichés par la méthode de TURNER, j'obtins pour les différences P2-P1 et r-r, des valeurs presque identiques pour les trois plaques. Des étoiles de repère presque identiques ayant servi de base aux calculs des constantes pour les trois clichés, on pouvait présumer que telle était l'explication naturelle, du fait. Pour le montrer, désignons par x, et y1 les coordonnées d'une étoile de l'un des clichés respectifs, et par x2 et y2 les quantités correspondantes dans un autre cliché. Les constantes p et sont déterminées alors, pour le premier cliché par des équations de la forme

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1) DONNER, Détermination des constantes nécessaires pour la réduction des clichés pris à Helsingfors pour la construction du catalogue photographique des étoiles jusqu'à la onzième grandeur. Helsingfors 1894.

2) RAYET, Instructions pour la réduction des clichés photographiques de l'observatoire de Bordeaux (Ann. de l'obs. de Bordeaux. T. XI, 1900).

3) WALTHER ZURHELLEN, Darlegung und Kritik der zur Reduktion photographischer Himmelsaufnahmen aufgestellten Formeln und Methoden. Bonn 1904.

= =

Admettant maintenant que x, x2, Y1 = Y2, ce qui est toujours approximativement le cas si les clichés sont des images de la même région du ciel, et supposant que les mêmes étoiles aient servi au calcul des constantes pour les deux clichés, on voit que, dans la formation des équations normales par la méthode des moindres carrés, les coefficients de p et de r seront exactement les mêmes pour les deux clichés. Si donc la position d'une étoile de repère est affectée d'une certaine erreur 4 a ou 48, cette erreur influera pour une valeur identiquement égale sur la détermination de p et de r. Par conséquent, si une différence P-P1 ou ræ - r dépend exclusivement des erreurs dans les positions adoptées des étoiles de repère, l'on doit obtenir, après avoir tenu compte de la réfraction, P, P11 =Px-Py2, et r11r11 = rx2 Le cas sera le même si x1 = x2 et y1 = y2, mais ces quantités sont unies par les égalités

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X2

1

γ =r
1/1

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où l et m sont des constantes. En effet, par la substitution de ces expressions au lieu de x, y dans l'équation (3), on obtient

(6)

7

k1 + p1 l + r1 m + P1 X2 + r; Y2 + ̧N1 = 0)

où les coefficients de p et de r sont, à des constantes près, les mêmes que dans l'égalité (4). Les coefficients dans les équations d'élimination qui fournissent pet r sont donc les mêmes aussi, et une erreur 4a ou 48 a la même influence pour les deux clichés.

Dans les collections de matériaux astrophotographiques de l'observatoire de Helsingfors, les clichés où x1 = x2, Y1 = Y2, et qui sont par conséquent relatifs à une seule et même région du ciel, sont peu nombreux. Pour obtenir une confirmation des résultats basés sur mes reprises répétées du cliché 412, je ne pouvais donc pas m'en tenir aux ressources de ce genre. Mais toutes les données du catalogue sont fournies par des clichés couvrant chacun un quart du cliché avoisinant, et soumis par conséquent aux équations

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où environ 55', m = env. 60'. En comparant les constantes calculées pour une plaque l = donnée, si l'on tient compte des étoiles de repère situées sur le quart de la plaque, avec les constantes obtenues pour la partie correspondante du cliché voisin, on peut donc décider si les résultats calculés pour la plaque 412 doivent être considérés comme valides ou non. Le seul inconvénient résultant d'un tel procédé, c'est que toutes les abscisses et toutes les ordonnées sont de même signe, et qu'ainsi les constantes deviennent plus difficiles à séparer. Mais l'observatoire possède des clichés pour lesquels les égalités (5) ont lieu, sans que leur partie commune soit limitée à un quart des plaques; ce sont les plaques d'Eros. La discussion de ces clichés a donc un singulier intérêt. L'exposé qui va suivre se divise en quatre parties. La première est relative au cliché 412 et les reprises photogra phiques 412 a, b et c de la même région du ciel, ainsi que le cliché 208 du catalogue, photographié à trois reprises différentes. La seconde partie est consacrée à la discussion

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d'un grand nombre de clichés se couvrant mutuellement sur un quart de leur étendue; la troisième partie traite des plaques d'Eros. Dans la quatrième, enfin, se trouvent les conclusions qu'on peut tirer des recherches qui précèdent.

I.

Discussion des clichés 412 et 208.

La région du ciel représentée par le cliché N:o 412 du catalogue a été photographiée par moi le 23 april 1908, sur trois plaques, avec trois expositions pour chacune. Le journal d'observation contient à ce propos les données suivantes:

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Les expositions de la plaque originaire 412 durèrent, comme cela est ordinaire dans les photographies de la zône de Helsingfors, 60°, 30 et 20 respectivement. Comme on employa pour les observations sus-nommées les plaques „Spezial-Momentplatten für Sternwarten" de SCHLEUSSNER, tandis qu'on avait fait usage plus tôt des plaques ordinaires de la même maison, on arrangea les expositions des clichés 412 a et c de manière à y avoir à peu près le même nombre d'étoiles que sur le cliché 412. Pour la plaque 412 b, on fit usage d'un temps d'exposition double.

Les mesures des clichés furent exécutées entre le 13 mai et 1er juin 1908; les clichés 412 a, 412 b et les x du 412 c furent mesurés par Mlle N. HELIN, les y du 412 c par Mlle H. STENBÄCK. La première image seule fut mesurée, mais dans deux positions différentes, séparées par un angle de 180°. Le cliché 412 contient 106 étoiles. Sur le 412 a et le 412 c, cependant, il ne s'en trouve que 99 et 86 respectivement; sur le 412 b on en mesura 109. Dans le calcul des constantes, on tint compte d'abord de toutes les étoiles se trouvant sur les plaques. Comme positions on choisit les moyennes des positions fournies par le cliché 412 et les clichés 405, 408, 409, 411, 413, 415, 416 et 419 de notre zône photographique. En formant ces moyen

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