Si le témoin voulant tromper, avait quelqu'intérêt à choisir le n° 79 parmi les numéros non-sortis; s'il jugeait, par exemple, qu'ayant placé sur ce numéro une mise considérable, l'annonce de sa sortie augmentera son crédit; la probabilité qu'il choisira ce numéro, ne sera plus, comme auparavant,,,,; elle pourra être alors,, etc., suivant l'intérêt qu'il aura d'annoncer sa sortie. En la supposant, il faudra multiplier par cette fraction, la probabilité 292, pour avoir dans l'hypothèse du mensonge, la probabilité, de l'événement observé, qu'il faut encore multiplier par; ce qui donne pour la probabilité de l'événement dans la seconde hypothèse. Alors la probabilité de la première hypothèse, ou de la sortie du n° 79, se réduit par la règle précédente, à. Elle est donc très-affaiblie par la considération de l'intérêt que le témoin peut avoir à annoncer la sortie du n° 79. A la vé rité, ce même intérêt augmente la probabilité

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III

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que le témoin dira la vérité, si le n°79 sort. Mais cette probabilité ne peut excéder l'u nité ou 10; ainsi la probabilité de la sortie du n° 79, ne surpassera pas. Le bon sens nous dicte que cetintérêt doit inspirer de la défiance; mais le calcul en apprécie l'influence.

La probabilité à priori du numéro énoncé par le témoin, est l'unité divisée par le nombre

des numéros de l'urne: elle se transforme en vertu du témoignage, dans la véracité même du témoin; elle peut donc être affaiblie par ce témoignage. Si, par exemple, l'urne ne renferme que deux numéros, ce qui donne pour la probabilité à priori de la sortie du n°1; et si la véracité d'un témoin qui l'annonce est; cette sortie en devient moins probable. En effet, il est visible que le témoin ayant alors plus de pente vers le mensonge que vers la vérité; son témoignage doit diminuer la probabilité du fait attesté, toutes les fois que cette probabilité égale ou surpasse. Mais s'il y a trois numéros dans l'urne; la probabilité à priori de la sortie du n° 1, est accrue par l'affirmation d'un témoin dont la véracité sur passe.

Supposons maintenant que l'urne renferme 999 boules noires et une boule blanche, et qu'une boule en ayant été extraite, un témoin du tirage annonce que cette boule est blanche. La probabilité de l'événement observé, déterminée à priori dans la première hypothèse, sera ici, comme dans la question précédente, égale à ... Mais dans l'hypothèse où le témoin trompe, la boule blanche n'est pas sortie, et la probabilité de ce cas est 299. Il faut la multiplier par la probabilité du mensonge, ce qui donne 99% pour la

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probabilité de l'événement observé, relative à la seconde hypothèse. Cette probabilité n'était que dans la question précédente: cette grande différence tient à ce qu'une boule noire étant sortie, le témoin qui veut tromper n'a point de choix à faire parmi les 999 boules, non sorties, pour annoncer la sortie d'une boule blanche. Maintenant, si l'on forme deux fractions dont les numérateurs soient les probabilités relatives à chaque hypothèse, et dont le dénominateur commun soit la somme de ces probabilités; on aura pour la probabilité de la première hypothèse et de la sortie d'une boule blanche, et pour la probabilité de la seconde hypothèse et de la sortie d'une boule noire. Cette dernière probabilité est fort approchante de la certitude: elle en appro cherait beaucoup plus encore, et deviendrait si l'urne renfermait un million de boules dont une seule serait blanche; la sortie d'une boule blanche devenant alors beaucoup plus extraordinaire. On voit ainsi comment la probabilité du mensonge croît à mesure que le fait devient plus extraordinaire.

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999

Nous avons supposé jusqu'ici que le témoin ne se trompait point; mais si l'on admet encore la chance de son erreur, le fait extraordinaire devient plus invraisemblable. Alors aulieu de deux hypothèses, on aura les quatre

suivantes, savoir, celle du témoin ne trome pant point et ne se trompant point; celle du témoin ne trompant point et se trompant; l'hypothèse du témoin trompant et ne se trompant point; enfin celle du témoin trompant et se trompant. En déterminant à priori dans chacune de ces hypothèses, la probabilité de l'événement observé; on trouve par le sixième principe, la probabilité que le fait attesté est faux, égale à une fraction dont le numérateur est le nombre des boules noires de l'urne multiplié par la somme des probabilités que le témoin ne trompe point et se trompe, ou qu'il trompe et ne se trompe point, et dont le dénominateur est ce numérateur augmenté de la somme des probabilités que le témoin ne trompe point et ne se trompe point, ou qu'il trompe et se trompe à-la-fois. On voit par là, que si le nombre des boules noires de l'urne est très-grand, ce qui rend extraordinaire, la sortie de la boule blanche; la probabilité que le fait attesté n'est pas, approche extrêmement de la certitude.

En étendant cette conséquence, à tous les faits extraordinaires; il en résulte que la probabilité de l'erreur ou du mensonge du témoin, devient d'autant plus grande, que le fait attesté est plus extraordinaire. Quelques auteurs ont avancé le contraire, en se fondant

sur ce que la vue d'un fait extraordinaire étant parfaitement semblable à celle d'un fait ordinaire; les mêmes motifs doivent nous porter à croire également le témoin, quand il affirme F'un ou l'autre de ces faits. Le simple bon sens repousse une aussi étrange assertion: mais le calcul des probabilités, en confirmant l'indication du sens commun, apprécie de plus, l'invraisemblance des témoignages sur les faits extraordinaires,

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On insiste et l'on suppose deux témoins également dignes de foi, dont le premier atteste qu'il a vu mort, il y a quinze jours, un individu que le second témoin affirme avoir vu hier, plein de vie. L'un ou l'autre de ces faits n'offre rien d'invraisemblable. La résurrection de l'individu est une conséquence de leur ensemble; mais les témoignages ne portant point directement sur elle, ce qu'elle a d'extraordinaire ne doit point affaiblir la croyance qui leur est due. (Encyclopédie, art. certitude.)

Cependant, si la conséquence qui résulte de l'ensemble des témoignages était impossible, l'un d'eux serait nécessairement faux; or une conséquence impossible est la limite des conséquences extraordinaires, comme F'erreur est la limite des invraisemblances; la valeur des témoignages, qui devient nulle dans