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Principes généraux du Calcul des Proba

bilités,

Jer Principe. Le premier de ces principes est,la définition

même de la probabilité qui, comme on l'a vu, est le rapport du nombre des cas favorables,

à celui de tous les cas possibles.. Ile Principe.. Mais cela suppose les divers cas, égale

ment possibles. S'ils ne le sont pas, on déterminera d'abord leurs possibilités respectives. dont la juste appréciation est un des points les plus délicats de la théorie des hasards. Alors la probabilité sera la somme des possibilités de chaque cas favorable. Éclaircissonsce principe, par un exemple.

Supposons que l'on projette en: l'air, une. pièce large et très-mince dont les deux grandes faces opposées, que nous nommerons croix et pile, soient parfaitement semblables, Cherchons la probabilité d'amener croix, une fois au moins en deux coups. Il est clair qu'il peut arriver quatre cas également possibles, savoir, croix au premier et au second coup; croix au premier coup et pile au second; pile au premier coup et croix au second; enfin pile aux deux coups. Les trois premiers cas sont favorables à l'événement dont on cherche la

probabilité qui, par conséquent, est égale à : ensorte qu'il y a trois contre un à parier que croix arrivera au moins une fois en deux coups. . On peut ne compter à ce jeu, que trois cas différens, savoir, croix au premier coup, ce qui dispense d'en jouer un second; pile au premier coup et croix au second; enfin pile au premier et au second coup. Cela réduirait la probabilité à ź, si l'on considérait avec d'Alembert, ces trois cas, comme étant également possibles. Mais il est visible que la probabilité d'amener croix au premier coup estás tandis que celle des deux autres cas est . Le premier cas est un événement simple qui correspond aux deux événemens composés, croix au premier et au second coup, et croix au premier coup, pile au second. Maintenant, si conformément au second principe, on ajoute la possibilité de croix au premier coup, à la possibilité de pile arrivant au premier coup et croix au second; on aura pour la probabilité cherchée, ce qui s'accorde avec ce que l'on trouve dans la supposition où l'on joue les deux coups. Cette supposition ne change rien au sort de celui qui parie pour cet événement : elle sert seulement à réduire les divers cas, à des cas également possibles.

IIIe Principe. Undes points les plus importans de la Théorie

des Probabilités, et celui qui prête le plus
aux illusions, est la manière dont les probabi-
lités augmentent ou diminuent par leurs com-
binaisons mutuelles. Si les événemens sont
indépendans les uns des autres, la probabilité
de l'existence de leur ensemble, est le produit
de leurs probabilités particulières. Ainsi la
probabilité d'amener un as avec un seul dé,
étant un sixième; celle d'amener deux as en
projetant deux dés à-la-fois, est un trente-
sixième. En effet, chacune des faces de l'un,
pouvant se combiner avec les six faces de
l'autre; il y a trente-six cas également pos-
sibles, parmi lesquels un seul donne les deux
as. Généralement, la probabilité qu'un événe-
ment simple et dans les mêmes circonstances,
arrivera de suite, un nombre donné de fois,
est égale à la probabilité de cet événement,
simple, élevée à une puissance indiquée par
ce nombre. Ainsi les puissances successives
d'une fraction moindre que l'unité, diminuant
sans cesse; un événement qui dépend d'une
suite de probabilités fortgrandes, peut devenir
extrêmement peu vraisemblable. Supposons
qu'un fait nous soit transmis par vingt té-
moins, de manière que le premier l'ait trans-
mis au second, le second au troisième, et
ainsi de suite. Supposons encore que la pro-

extrêmemenabilités fort gran qui dépend di

babilité de chaque témoignage soit égale à : celle du fait, résultante des témoignages, sera moindre qu'un huitième. On ne peut mieux comparer cette diminution de la probabi. lité, qu'à l'extinction de la clarté des objets, par l'interposition de plusieurs morceaux de verre; un nombre de morceaux peu consi dérable, suffisant pour dérober la vue d'un objet qu'un seul morceau laisse apercevoir d'une manière distincte. Les historiens ne paraissent pas avoir fait assez d'attention à cette dégradation de la probabilité des faits , lorsqu'ils sont vus à travers un grand nombre de générations successives : plusieurs événemens historiques, réputés certains, seraientau moins douteux, si on les soumettait à cette épreuve.

Dans les sciences purement mathématiques, les conséquences les plus éloignées participent de la certitude du principe dont elles dérivent. Dans les applications de l'analyse à la physique, les conséquences ont toute la certitude des faits ou des expériences. Mais dans les sciences morales , ou chaque conséquence n'est déduite de ce qui la précède, que d'une manière vraisemblable; quelque probables que soient ces déductions, la chance de l'erreur croît avec leur nombre, et finit par surpasser la chance

de la vérité, dans les conséquences très-éloi

gnées du principe. IVe Principe. Quand deux événemens dépendent l'un

de l'autre; la probabilité de l'événement composé est le produit de la probabilité du premier événement, par la probabilité que cet

événement étant arrivé, l'autre aura lieu. . Ainsi, dans le cas précédent de trois urnes

A, B, C, dont deux ne contiennent que des boules blanches et dont une ne renferme que des boules noires; la probabilité de tirer une boule blanche de l'urne C est ; puisque sur trois urnes, deux ne contiennent que des boules de cette couleur. Mais lorsqu'on a extrait une boule blanche, de l'urne C; l'indécision relative à celle des urnes qui ne renferme que des boules noires, ne portant plus que sur les urnes A et B; la probabilité d'extraire une boule blanche, de l'urne B est, le produit de par », ou s est donc la probabilité d'extraire à - la-fois des urnes B et C, deux boules blanches.

. On voit par cet exemple, l'influence des événemens passés sur la probabilité des événemens futurs. Car la probabilité d'extraire une boule blanche, de l'urne B, qui primitivement est , se réduit à á, lorsqu'on a extrait une boule blanche de l'urne C: elle se changerait en certitude, si l'on avait extrait une

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