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d'extraire une boule blanche au troisième tirage. . .

. Quand la probabilité d'un événement simple est inconnue, on peut lui supposer également toutes les valeurs depuis zéro jusqu'à l'unité. La probabilité de chacune de ces hypothèses, tirée de l'événement observé, est par le sixième principe, une fraction dont le numérateur est la probabilité de l'événement dans cette hypothèse, et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables relatives à toutes les hypothèses. Ainsi la probabilité que la pos. sibilité de l'événement est comprise dans des limites données, est la somme des fractions comprises dans, ces limites. Maintenant, si. l'on multiplie chaque fraction, par la proba bilité de l'événement futur, déterminée dans l'hypothèse correspondante; la somme des produits relatifs à toutes les hypothèses sera par le septième principe, la probabilité de l'événement futur, tirée de l'événement ob+. servé: On trouve ainsi qu'un événement étant arrivé de suite, un nombre quelconque de fois; la probabilité qu'il arrivera encore la fois suivante, est égale à ce nombre augmenté de l'unité, divisé par le même nombre augmenté de deux, unités. En faisant, par exemple, remonter la plus ancienne époque de l'histoire; à cinq mille ans, ou à 1826213 jours., et le

soleil s'étant levé constamment dans cet intervalle, à chaque révolution de vingt-quatre heures; il y a 1826214 à parier contre un, qu'il se levera encore demain. Mais ce nombre est incomparablement plus fort pour celuiqui connaissant par l'ensemble des phénomènes, le principe régulateur des jours et des saisons, voit que rien dans le moment actuel, ne peut en arrêter le cours.

- Buffon, dans son Arithmétique politique, calcule différemment la probabilité précédente. Il suppose qu'elle ne diffère de l'unité, que d'une fraction dont le numérateur est l'unité, et dont le dénominateur est le nom bre deux élevé à une puissance égale au nombre des jours écoulés depuis l'époque. Mais la vraie manière de remonter des événemens passés , à la probabilité des causes et des événemens futurs, était inconnue à cet illustre écrivain. .

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i De lEspérance.

] La probabilité des événemens sert à détere miner l'espérance ou la crainte des personnes, intéressées à leur existence. Le mot espérance a diverses acceptions : il exprime gém néralement l'avantage de celui qui attend un bien quelconque, dans des suppositions qui

ne sont que probables. Cet avantage, dans la théorie des hasards, est le produit de la somme espérée, par la probabilité de l'obtenir : c'est la somme partielle qui doit revenir, lorsqu'on ne veut point courir les risques de l'événement, en supposant que la répartition se fasse proportionnellement aux probabilités. Cette répartition est la seule équitable, lorsqu'on fait abstraction de toutes circonstances étrangères; parce qu'avec un égal degré de probabilité, ona un droit égal sur la somme espérée. Nous nommerons cet avantage, espérance

mathématique. VIIIe Principe. Lorsqu'il dépend de plusieurs événemens;

on l'obtient, en prenant la somme des produits de la probabilité de chaque événement, par le bien attaché à son arrivée.

Appliquons ce principe à des exemples. Supposons qu'au jeu de croix et pile , Paul reçoive deux francs, s'il amène croix au premier coup, et cinq francs, s'il ne l'amène qu'au second. En multipliant deux francs, par la probabilité du premier cas, et cinq francs, par la probabilité du second cas; la somme des produits, ou deux francs et un quart sera l'avantage de Paul. C'est la somme qu'il doit donner d'avance à celui qui luia fait cet avantage; car pour l'égalité du jeu, la mise doit être égale à l'avantage qu'il procure. ...

: Si Paul reçoit deux francs, en amenant croix au premier coup, et cinq francs en l'amenant au second coup, soit qu'il l'ait ou non, amené au premier; alors la probabilité d'amener croix au second coup, étant ; en multipliant deux francs et cinq francs par , la somme de ces produits, donnera trois francs et demi pour l'avantage de Paul, et par conséquent pour sa mise au jeu.

Dans une série d'événemens probables, IX. Principe. dont les uns produisent un bien, et les autres, une perte; on aura l'avantage qui en résulte, en faisant une somme des produits de la probabilité de chaque événement favorable, par le bien qu'il procure; et en retranchant de cette somme, celle des produits de la probabilité de chaque événement défavorable, par la perte qui y est attachée. Si la seconde somme l'emporte sur la première, le bénéfice devient perte, et l'espérance se change en crainte. · On doit toujours, dans la conduite de la vie, faire ensorte d'égaler au moins, le produit du bien que l'on espère, par sa probabilité, au produit semblable relatif à la perte. Mais il est nécessaire pour y parvenir, d'apprécier exactement les avantages, les pertes, et leurs probabilités respectives. Il faut pour cela, une grande justesse d'esprit, un tact

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délicat, et une grande expérience des choses:: il faut savoir se garantir des préjugés, des illusions de la crainte et de l'espérance, et de ces fausses idées de fortune et de bonheur, dont la plupart des hommes bercent leur amour-propre. .... : L'application des principes précédens, à la question suivante, a beaucoup exercé les géo-, mètres. Paul joue à croix et pile, avec la condition de recevoir, deux francs, s'il amène croix au premier coup; quatre francs, s'il nė, l'amène qu'au second; huit francs, s'il ne l'amène qu'au troisième, et ainsi de suite. Sa mise au jeu, doit être par le huitième principes égale au nombre des coups; ensorte que si la partie continue à l'infini, la mise doit être ins finie. Cependant, aucun homme raisonnable ne voudrait exposer à ce jeu, une somme mêmemodique, cinquante francs, par exemple, D'où vient cette différence entre le résultat du calcul, et l'indication du sens commun? On reconnutbientôt, qu'elle tenait à ce que l'avantage moral qu'un bien nous procure, n'est pas proportionnel à ce bien, et qu'il dépend de mille circonstances souvent très-difficiles à définir, mais dont la plus générale et la plus. importante est celle de la fortune. En effet, il est visible qu’un franc a beaucoup plus de prix pour celui qui n'en a que cent, que pour

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