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un millionnaire, On doit donc dans le bien espéré, distinguer sa valeur absolue, de sa valeur relative. Celle-ci se règle sur les motifs qui le font desirer; au lieu que la première en est indépendante. On ne peut pas donner de principe général, pour apprécier cette va+ deur relative, En voici cependant un proposé par Daniel Bernoulli, et qui peut servir dans beaucoup de cas..

La valeur relative d'une somme infiniment Xe Principe. petite, est égale à sa valeur absolue divisée par le bien total de la personne intéressée. Cela suppose que tout hommea un bien quel+ conque dont la valeur ne peut jamais être supposée nulle. En effet, celui même qui ne possède rien, donne toujours auproduit de son travail et à ses espérances, une valeur au moins égale à ce qui lui est rigoureusement nécessaire pour vivre. Sisi - Silonapplique l'analyse, au principequenous venons d'exposer; on obtient la règle suivante. · En désignant par l'unité, la partie de la fortune d'un individu, indépendante de ses expectatives; si l'on détermine les diverses valeurs. que cette fortune peut recevoir en vertu de ces expectatives, et leurs probabilités; le produit de. ces valeurs élevées. respectivement aux puissancés indiquées par ces probabilités, sera la fortune physique qui procurerait à

vien, dos espe, qui est

l'individu, le même avantage moral qu'il reçoit de la partie de sa fortune, prise pour unité, et de ses expectatives; en retranchant donc l'unité, de ce produit; la différence sera l'accroissement de la fortune physique, dû aux expectatives : nous nommerons cet accroissement, espérance morale. Il est facile de voir qu'elle coïncide avec l'espérance mathématique, lorsque la fortune prise pour unité, devient infinie par rapport aux variations qu'elle reçoit des expectatives. Mais lorsque ces variations sont une partie sensible de cette unité , les deux espérances peuvent différer très-sensiblement entre elles. . ." . Cette règle conduit à des résultats conformes aux indications du sens commun, que l'on peut à ce moyen, apprécier avec quelqu'exactitude. Ainsi dans la question précédente , on trouve que si la fortune de Paul est de deux cents francs; il ne doit pas raisonnablement mettre au jeu, plus de neuf francs. La même règle conduit encore à répartir le danger, sur plusieurs parties d'un bien que l'on espère, plutôt que d'expoşer'ce bien tout entier au même danger. Il en résulte pareillement qu'au jeu le plus égal, la perte est toujours relativement plus grande que le gain; car le produit de la fortune prise pour unité, augmentée du gain et élevée à une puissance

égale à la probabilité du gain, par cette unité diminuée de la perte, et élevée à une puissance égale à la probabilité de la perte, est toujours moindre que la fortune du joueur avant sa mise au jeu. En supposant par exemple, cette fortune, de cent francs, et que le joueur eni expose cinquante au jeu de croix et pile; sa fortune après sa mise au jeu, peut être en vertu de son expectative, ou de cent cinquante francs, ou seulement de cinquante : la probabilité de chacun de ces deux cas est; cette fortune est donc par la règle précédente, égale à la racine carrée du produit de cent cinquante, par cinquante; elle est ainsi réduite à quatre-vingt-sept francs, c'est-à-dire que cette dernière somme procurerait au joueur, le même avantage moral, que l'état de sa fortune après sa mise. Le jeu est donc désavantageux, dans le cas même où la mise est égale au produit de la somme espérée, par sa probabilité. On peut juger par là de l'immoralité des jeux dans lesquels la somme espérée est au-dessous de ce produit. Ils ne subsistent que par les faux raisonnemens et la cupidité qu'ils fomentent, et qui portant le peuple à sacrifierson nécessaire, à des espérances chimériques dont il est hors d'état d'apprécier l'invraisemblance, sont la source d'une infinité de maux.

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i ... , Des Méthodes analytiques du Calcul des i

. Probabilités. ' ; .

L'application des principes que nous venons d'exposer, aux diverses questions de proba-; bilités, exige des méthodes dont la recherche a donné naissance à plusieurs branches de l'analyse, et spécialementà la théorie des com-binaisons, et au calcul des différences finies..

Si l'on forme le produit des binomes, l'unité plus une première lettre, l'unité plus une seconde lettre, l'unité plus une troisième lettre, et ainsi de suite jusqu'à n lettres; en retran-chant l'unité de ce produit developpé, on aura; la somme des combinaisons de toutes ces lettres prises une à une, deux à deux, trois à trois, etc. : chaque combinaison aura pour coefficient, l'unité. Pour avoir le nombre des combinaisons de ces n lettres prises ràr, on: observera que si on suppose les lettres égales entre elles, le produit précédent deviendra la puissance nième du binome, un plus la première lettre; et le nombre des combinaisons des n lettres prises r, sera le coefficient de la puissance pième de la première lettre, dans le développement de ce binome, on aura donc ce nombre, par la formule connue du binome.

Si l'on veut avoir égard à la situation respective des lettres, dans chaque combinaison; 'on doit observer qu'en joignant une seconde lettre à la première, on peut la placer au premier et au second rang; ce qui donne deux combinaisons. Si l'on joint à ces combinai sons, une troisième lettre; on peut lui donner dans chaque combinaison, le premier, le second et le troisième rang; ce qui forme trois combinaisons relatives à chacune des deux autres, en tout, six combinaisons. De là, il est aisé de conclure que le nombre des arran gemens différens que l'on peut donner à ý lettres, est le produit des nombres depuis l'u= nité jusqu'à r. Il faut donc pour avoir, égard à la situation respective des lettres, multiplier par ce produit, le nombre des combinai"sons des n lettres prises ràr; ce qui revient à supprimer le dénominateur du coefficient dù terme du binome, qui exprime ce nombre. : *Supposons une loterie composée de n nu

méros, et qu'il en sorte rà chaque tirage; on . demande la probabilité de la sortie de s'nupoukros donnés, dans un tirage. Pour y parve:

nir, on déterminera d'abord le nombre des 'combinaisons des autres numéros pris rmoins 's, à r moins s; car il est clair qu'en ajoutant less numéros donnés, à chacune de ces combinaisons, on aura la somme de toutes les

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