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égale à la probabilité du gain, par cette unité diminuée de la perte, et élevée à une puissance égale à la probabilité de la perte, est toujours moindre que la fortune du joueur avant sa mise au jeu. En supposant par exemple, cette fortune, de cent francs, et que le joueur en expose cinquante au jeu de croix et pile; sa fortune après sa mise au jeu, peut être en vertu de son expectative, ou de cent cinquante francs, ou seulement de cinquante : la probabilité de chacun de ces deux cas est ; ; cette fortune est donc par la règle précédente, égale à la racine carrée du produit de cent cinquante, par cinquante; elle est ainsi réduite à quatre-vingt-sept francs, c'est-à-dire que cette dernière somme procurerait au joueur, le même avantage moral, que l'état de sa fortune après sa mise. Le jeu est donc désavantageux, dans le cas même où la mise est égale au produit de la somme espérée, par sa probabilité. On peut juger par là de l'immoralité des jeux dans lesquels la somme espérée est au-dessous de ce produit. Ils ne subsistent que par les faux raisonnemens et la cupidité qu'ils fomentent, et qui portant le peuple à sacrifierson nécessaire, à des espérances chimériques dont il est hors d'état d'apprécier l'invraisemblance, sont la source d'une infinité de maux.

Des Méthodes analytiques du Calcul des

Probabilités.

L'application des principes que nous venons d'exposer, aux diverses questions de probabilités, exige des méthodes dont la recherche a donné naissance à plusieurs branches de l'analyse, et spécialementà la théorie des combinaisons, et au calcul des différences finies.

Si l'on forme le produit des binomes, l'unité plus une première lettre, l'unité plus une seconde lettre, l'unité plus une troisième lettre, et ainsi de suite jusqu'à n lettres; en retran- * chant l'unité de ce produit developpé, on aura la somme des combinaisons de toutes ces lettres prises une à une, deux à deux, trois à trois, etc. : chaque combinaison aura pour coefficient, l'unité. Pour avoir le nombre des combinaisons de ces n lettres prises r år, on observera que si on suppose les lettres égales entre elles, le produit précédent deviendra la puissance nième du binome, un plus la pre=; mière lettre; et le nombre des combinaisons des n lettres prises r, sera le coefficient de la puissance pième de la première lettre, dans le développement de ce binome, on aura? donc ce nombre, par la formule connue du binome.

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Si l'on veut avoir égard à la situation res pective des lettres, dans chaque combinaison; 'on doit observer qu'en joignant une seconde lettre à la première, on peut la placer au premier et au second rang; ce qui donne deux combinaisons. Si l'on joint à ces combinai sons, une troisième lettre; on peut lui donner dans chaque combinaison, le premier, le second et le troisième rang; ce qui forme trois combinaisons relatives à chacune des deux autres, en tout, six combinaisons. De là, il est aisé de conclure que le nombre des arrangemens différens que l'on peut donner à ; lettres, est le produit des nombres depuis l'unité jusqu'à r. Il faut donc pour avoir égard à la situation respective des lettres, multiplier par ce produit, le nombre des combinaisons des n lettres prises ràr; ce qui revient à supprimer le dénominateur du coefficient dû terme du binome, qui exprime ce nombre.

Supposons une loterie composée de n numéros, et qu'il en sorte rà chaque tirage; on

demande la probabilité de la sortie de s nuqué ros donnés, dans un tirage. Pour y parve

nir, on déterminera d'abord le nombre des combinaisons des autres numéros pris rmoins s, à r moins s; car il est clair qu'en ajoutant les s numéros donnés, à chacune de ces com binaisons, on aura la somme de toutes les combinaisons des n lettres prises r à r, et dans lesquelles les s numéros donnés entrent. Si l'on divise ce nombre, par celui des combinaisons de toutes les lettres prises r à r; on aura la probabilité demandée. On trouve ainsi que cette probabilité est le rapport du nombre des combinaisons de r lettres prises sàs, au nombre des combinaisons de n lettres prises sàs.

On peut d'après ce théorème, calculer les chances de la loterie de France, et en conclure ses bénéfices. Cette loterie est, comme on sait, composée de go numéros, dont cinq sortent à chaque tirage. La probabilité de la sortie. d'un extrait donné, est en vertu de ce théorème, égale à ou ; la loterie devrait donc alors pour l'égalité du jeu, rendre dixhuit fois la mise. Le nombre total des combinaisons deux à deux, de go numéros est 4005, et il en sort dix à chaque tirage; ainsi la probabilité de la sortie d'un ambe donné est dos; la loterie devrait donc pour un ambe sorti, rendre quatre cent fois et demie, la mise. On trouve pareillement qu'elle devrait rendre la mise, 11748 fois pour un terne, 511038 fois pour un quaterne, et 43949268 fois

pour un quine. La loterie est loin de faire ces avantages aux joueurs,

Supposons encore dans une urne, n boules

que l'on puisse également extraire une à une, deux à deux, trois à trois, etc.; on a fait une de ces extractions, et l'on demande la probabilité que le nombre des boules extraites est impair. Il suit de ce qui précède, que si l'on élève le binome, un plus un, à la puissance n; les termes second, troisième, etc., exprimeront les nombres de combinaisons des n boules prises une à une, deux à deux, etc.; ainsi la totalité des combinaisons sera la puissance pième de deux, moins l'unité : la somme des termes second, quatrième, sixième, etc, du développement du binome, sera le nombre des combinaisons impaires : elle sera visiblement, la moitié de la différence des pièmes puissances des binomes un plus'un, et un moins un; ou la moitié de la pième puissance de deux. En retranchant l'unité, de cette moitié, on aura le nombre des combinaisons paires; et en divisant ces deux nombres de combinaisons, par leur somme, on aura les probabilités respectives des combinaisons impaires et paires. On voit ainsi qu'il y a de l'avantage à parier plutôt pour un nombre impair de boules extraites, que pour un nombre pair.

Mais la méthode la plus générale et la plus directe de résoudre les questions de probabilité, consiste à les faire dépendre d'équations aux différences. En comparant les états

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