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nombre des points qui lui manque, serait diminué d'une unité; ou le joueur B gagnerait çe nouveau coup, et alors le nombre des points qui manquent à ce dernier joueur, serait diminué d'une unité; mais la probabilité de chacun de ces cas est ; la fonction cherchée est donc égale à la moitié de cette fonction dans laquelle on diminue d'une unité, la première variable, plus à la moitié de la même fonction dans laquelle on diminue la seconde variable, d'une unité. Cette égalité est une de ces équations que l'on nomme équations aux différences partielles.

On peut déterminer à son moyen, les probabilités de A, en partant des plus petits nombres, et en observant que la probabilité ou la fonction quil'exprime, est égale à l'unité, lorsqu'il ne manque aucun point au joueur A, ou lorsque la première variable est nulle; et que cette fonction devient nulle avec la seconde variable. En supposant ainsi qu'il ne manque qu'un point au joueur A, on trouve que sa probabilité est ; , ., etc., suivant qu'il manque à B, un point, ou deux, ou trois, etc. Généralement, elle est alors égale à l'unité, moins élevé à une puissance egale au nombre des points qui manquent à B. On supposera ensuite qu'il manque deux points au joueur A, et l'on trouvera sa probabilité

égale à , , , etc., suivant qu'il manque à B; un point, ou deux, ou trois, etc. On supposera encore qu'il manque trois points au joueur A, et ainsi de suite.

Cette manière d'obtenir les valeurs successives d'une quantité, au moyen de son équation aux différences, est longue et pénible; et les géomètres ont cherché des niéthodes pour avoir la fonction générale des variables, qui satisfait à cette équation ; ensorte que l'on n'ait besoin pour chaque cas particulier, que de substituer dans cette fonction, les valeurs correspondantes des variables. Considérons cet objet d'une manière générale. Pour cela, concevons une suite de termes disposés sur une ligne horizontale, et tels que chacun d'eux dérive des précédens, suivant une loi donnée : supposons cette loi exprimée par une équation entre plusieurs termes consécutifs, et leur indice, ou le nombre qui in-. dique le rang qu'ils occupent dans la série :: cette équation'est ce que je nomme équation aux différences finiés à un seul indice variable. L'ordre ou le degré de cette équation est la différence du rang de ses deux termes extrêmes. On peut, à son moyen, déterminer successivement les termes de la série, et la contiņuer indéfiniment; mais il faut pour cela, connaître un nombre de termes de la série,

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égal au degré de l'équation. Ces termes sont les constantes arbitraires de l'expression du terme général de la série, ou de l'intégrale de l'équation aụx différences.

Concevons maintenant, qu- dessus des termes de la série précédente, une seconde série de termes disposés horizontalement; concevons encore, au-dessus des termes de la seconde série, une troisième série horizontale, et ainsi de suite à l'infini, et supposons les termes de toutes ces séries, liés par une équation générale entre plusieurs termes consécutifs, pris tant dans le sens horizontal, que dans le sens vertical, et les nombres qui indiquent leur rang dans les deux sens. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies partielles à deux indices variables... : Concevons pareillement au-dessus du plan qui renferme les séries précédentes, un se-, cond plan renfermant des séries semblables, dont les termes soient placés respectivement au-dessus de ceux que contient le premier plan. Concevons ensuite au-dessus de ce second plan, un troisième plaņ renfermant des séries semblables, et ainsi à l'infipi. Supposons tous les termes de ces séries, liés par une équation entre plusieurs termes consécutifs, pris, tant dans le sens de la longueur, que dans les sens de la largeur et de la profondeur, et les trois nombres qui indiquent leur rang dans ces trois sens. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies par tielles à trois indices variables.

Enfin, en considérant la chose d'une ma-. nière abstraite et indépendante des dimensions de l'espace, concevons généralement un système de grandeurs qui soient fonctions d'un nombre quelconque d'indices variables, et supposons entre ces grandeurs, leurs diffé-. rences relatives à ces indices et les indices eux-mêmes, autant d'équations qu'il y a de ces grandeurs; ces équations seront aux différences finies partielles à un nombre quelconque d'indices variables ,

On peut à leur moyen, déterminer successivement ces grandeurs. Mais de même que Péquation à un seul indice', exige que l'on connaisse un certain nombre de termes de la série; de même l'équation à deux indices exige que l'on connaisse une ou plusieurs lignes de séries, dont les termes généraux peuvent chacun être exprimés par une fonction arbitraire đun des indices. Pareillement, l'équation à trois indices exige que l'on connaisse un ou plusieurs plans de séries, dont les termes généraux peuvent être exprimés chacun par une. fonction arbitraire de deux indices, et ainsi

de suite. Dans tous ces cas, on pourra, par des éliminations successives, déterminer un terme quelconque des séries. Mais toutes les équations entre lesquelles' on élimine, étant comprises dans un même système d'équations générales; toutes les expressions des termes successifs que l'on obtient par ces éliminations, doivent être comprises dans une expression générale, fonction des indices qui déterminent le rang du terme. Cette expression est l'intégrale de l'équation proposée aux différences, et sa recherche est l'objet du calcul intégral.

Taylor est le premier qui, dans son excellent ouvrage intitulé, Methodus incrementorum, ait considéré les équations linéaires aux différences finies. Il y donne la manière d'intégrer celles du premier ordre, avec un coefficient variable, et un dernier terme fonction de l'indice, A la verité, les relations des termes des progressions arithmétiques et géométriques, sont les cas les plus simples des équations linéaires aux différences; mais on ne les avait pas envisagées sous ce point de vue, l'un de ceux qui se rattachant à des théories générales, ont conduit à ces théories, et sont par là, de véritables découvertes. '

Vers le même temps, Moivre considéra sous la dénomination de suites récurrentes, les équations linéaires aux différences finies, d'un

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