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égal au degré de l'équation. Ces termes sont les constantes arbitraires de l'expression du terme général de la série, ou de l'intégrale de l'équation aux différences.

Concevons maintenant, qu-dessus des termes de la série précédente, une seconde série de termes disposés horizontalement; concevons encore, au-dessus des termes de la seconde série, une troisième série horizontale, et ainsi de suite à l'infini, et sụpposons les termes de toutes ces séries, liés par une équation générale entre plusieurs termes consécutifs, pris tant dans le sens horizontal, que, dans le sens vertical, et les nombres qui indiquent leur rang dans les deux sens. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies partielles à deux indices variables.

Concevons pareillement au-dessus du plan qui renferme les séries précédentes, un second plan renfermant des séries semblables, dont les termes soient placés respectivement au-dessus de ceux que contient le premier plan. Concevons ensuite au-dessus de ce second plan, un troisième plan renfermant des séries semblables, et ainsi à l'infipi. Supposons tous les termes de ces séries, liés par une équation entre plusieurs termes consécutifs, pris tant dans le sens de la longueur, que dans

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les sens de la largeur et de la profondeur, et les trois nombres qui indiquent leur rang

dans ces trois sens. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies para tielles à trois indices variables.

Enfin, en considérant la chose d'une manière abstraite et indépendante des dimensions de l'espace, concevons généralement un système de grandeurs qui soient fonctions d'un nombre quelconque d'indices variables, et supposons entre ces grandeurs, leurs différences relatives à ces indices et les indices eux-mêmes, autant d'équations qu'il y a de ces grandeurs; ces équations seront aux différences finies partielles à un nombre quelconque d'indices variables.

On peut à leur moyen, déterminer successivement ces grandeurs. Mais de même que Péquation à un seul indice, exige que l'on connaisse un certain nombre de termes de la série; de même l'équation à deux indices exige que l'on connaisse une ou plusieurs lignes de séries, dont les termes généraux peuvent chacun être exprimés par une fonction arbitraire đun des indices. Pareillement, l'équation à trois indices exige que l'on connaisse un ou plusieurs plans de séries, dont les termes généraux peuvent être exprimés chacun par une fonction arbitraire de deux indices, et ainsi

de suite. Dans tous ces cas, on pourra, par des éliminations successives, déterminer un terme quelconque des séries. Mais toutes les équations entre lesquelles on élimine, étant comprises dans un même système d'équations générales; toutes les expressions des termes successifs que l'on obtient par ces éliminations, doivent être comprises dans une expression générale, fonction des indices qui déterminent le rang du terme. Cette expression est l'intégrale de l'équation proposée aux différences, et sa recherche est l'objet du calcul intégral.

Taylor est le premier qui, dans son excellent ouvrage intitulé, Methodus incrementorum, ait considéré les équations linéaires aux différences finies. Il y donne la manière d'intégrer celles du premier ordre, avec un coefficient variable, et un dernier terme fonction de l'indice, A la verité, les relations des termes des progressions arithmétiques et géométriques, sont les cas les plus simples des équations linéaires aux différences; mais on ne les avait pas envisagées sous ce point de vue, l'un de ceux qui se rattachant à des théories générales, ont conduit à ces théories, et sont par là, de véritables découvertes.

Vers le même temps, Moivre considéra sous la dénomination de suites récurrentes, les équations linéaires aux différences finies, d'un ordre quelconque, à coefficiens constans : ) parvint à les intégrer d'une manière très-ingénieuse. Comme il est toujours intéressant de suivre la marche des inventeurs, je vais exposer celle de Moivre, en l'appliquant à une suite récurrente dont la relation entre trois termes consécutifs est donnée. D'abord', il considère la relation entre les termes consécutifs d'une progression géométrique, oų l'équation à deux termes, qui l'exprime. En la rapportant aux termes inférieurs d'une unité; il la multiplie dans cet état, par un facteur constant, et il retranche le produit, de l'équation primitive. Par là, il obtient une relation entre trois termes consécutifs de la progression géométrique. Moivre.considère ensuite une seconde progression géométrique dont la raison des termes est le facteur même qu'il vient d'employer. It diminue pareillement d'une unité, l'indice des termes de l'équation de cette nouvelle progression : dans cet état, il la multiplie par la raison des termes de la première progression, et il retranche le produit, de l'équation primitive; ce qui lui donne entre trois termes consécutifs de la seconde progression, une relatiorentièrement semblable à celle qu'il a trouvée pour la première progression. Puis il observe que si l'on ajoute terme à terme, les deux progressions; la même relation subsiste entre trois quelconques de ces sommes consécutives. Il compare les coefficiens de cette relation, à ceux de la relation des termes de la suite récurrente proposée; et il trouve pour déterminer les rapports des termès consécutifs des deux progressions, une équation du second degré, dont les ràcines sont ces rapports. Par là, Moivre décompose la suite récurrente, en deux progressions géométriques multipliées, chacune, par une constante arbitraire qu'il détermine au moyen des deux premiers termes de la suite récurrente. Ce procédé ingénieux est au fond, celui que Lagrange a depuis employé pour l'intégration directe des équations linéaires aux différences finies à coefficiens constans.

Depuis cette époque, j'ai considéré les équations linéaires aux différences partielles finies, d'abord sous la dénomination de suites récurrentes, ensuite, sous leur dénomination propre. La manière la plus générale et la plus simple, d'intégrer toutes ces équations, me parait être celle que j'ai fondée sur la considération des fonctions génératrices dont voici l'idée.

Si l'on conçoit une fonction A d'une variable, développée dans une série ascendante par rapport aux puissances de cette variable;

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