Sivut kuvina
PDF
ePub

ordre quelconque, à coefficiens constans : i) parvint à les intégrer d'une manière très-ingénieuse. Comme il est toujours intéressant de suivre la marche des inventeurs, je vais exposer celle de Moivre, en l'appliquant à une suite récurrente dont la relation entre trois termes consécutifs est donnée. D'abord", il considère la relation entre les termes consécutifs d'une progression géométrique, oų l'équation à deux termes, qui l'exprime. En la rapportant aux termes inférieurs d'une unité; il la multiplie dans cet état, par un facteur constant, et il retranche le produit, de l'équation primitive. Par là, il obtient une relation entre trois termes consécutifs de la progression géométrique. Moivre.considère ensuite une seconde progression géométrique dont la raison des termes est le facteur même qu'il vient d'employer. It diminue pareillement d'une unité, l'indice des termes de l'équation de cette nouvelle progression : dans cet état, il la multiplie par la raison des termes de la première progression, et il retranche le produit, de l'équation primitive; ce qui lại donne entre trois termes consécutifs de la seconde progression, une relatiorentièrement semblable à celle qu'il a trouvée pour la première pro. gression. Puis il observe que si l'on ajoute terme à terme, les deux progressions; la même relation subsiste entre trois quelconques de ces sommes conséoutives. Il compareles coefficiens de cette relation, à ceux de la relation des termes de la suite récurrente proposée; et il trouve pour déterminer les rapports des termès consécutifs des deux progressions, une équation du second degré, dont les racines sont ces rapports. Par là, Moivre décompose la suite récurrente, en 'deux progressions géométriques multipliées, chacune, par une constante arbitraire qu'il détermine au moyen des deux premiers termes de la suite récurrente. Ce procédé ingénieux est au fond, celui que Lagrange a depuis employé pour l'intégration directe des équations linéaires aux différences finies à coefficiens constans. '

Depuis cette époque, j'ai considéré les équations linéaires aux différences partielles finies, d'abord sous la dénomination de suites récurrentes, ensuite, sous leur dénomination propre. La manière la plus générale et la plus simple, d'intégrer toutes ces équations, me paraît être celle que j'ai fondée sur la considération des fonctions génératrices dont voici l'idée.

Si l'on conçoit une fonction A d'une variable, développée dans une série ascendante par rapport aux puissances de cette variable; le coefficient de l'une quelconque de ces puissances, sera fonction de l'exposant ou indice de cette puissance. A est ce que je nomme fonction génératrice de ce coefficient ou de la fonction de l'indice.

Maintenant, si l'on multiplie la série A, par une fonction linéaire de la variable, telle , par exemple, que l'unité plus deux fois cette variable; le produit sera une nouvelle fonction génératrice dans laquelle le coefficient d'une puissance quelconque de la variable, sera égal au coefficient de la même puissance dans A, plus au double du coefficient de la puissance inférieure d'une unité. Ainsi la fonction de l'indice, dans le produit, égalera la fonction de l'indice dans A, plus le double de cette même fonction dans laquelle l'indice est diminué de l'unité. Cette fonction de l'indice dans le développement du produit, est ainsi une dérivée de la fonction de l'indice dans A, dérivée que l'on peut exprimer par une caractéristique placée devant cette derpière fonction. La dérivation indiquée par la caractéristique dépend de la fonction multiplicateur, que nous désignerons par B, et que nous supposerons développée, comme A, par rapport aux puissances de la variable, ..

Si l'on multiplie de nouveau par B , le produit de A par B, ce qui revient à multiplier

A par le carré de B; on formera une troisième fonction génératrice dans laquelle le coefficient d'une puissance quelconque de la variable, sera une dérivée semblable du coefficient correspondant du dernier produit; on pourra donc l'exprimer par la même caractéristique placée devant la dérivée précédente, et alors cette caractéristique sera deux fois écrite devant le coefficient correspondant de la série A. Mais au lieu de l'écrire ainsi deux, fois, on lui donne pour exposant, le nombre deux. . .

En continuant ainsi, on voit généralement que si l'on multiplie A par la puissance pième de B; on aura le coefficient d'une puissance quelconque de la variable dans le produit, en plaçant devant le coefficient correspondant de A, la caractéristique avec n pour exposant....

Supposons que B soit l'unité divisée par la variable; alors dans le produit de A par B, le coefficient d'une puissance de la variable, sera le coefficient de la puissance supérieure d'une unité, dans A ; d'où il suit que dans le produit de A par la puissance pième de B, ce coefficient sera celui de la puissance supérieure d'un nombre n d'unités, dans A. : Désignons par C, l'unité divisée par la variable, moins un ; alors dans le produit de A

par C, le coefficient d'une puissance de la variable, sera le coefficient de la puissance supérieure d'une unité dans A, moins le coefficient de cette puissance dans la même série A; il sera donc la différence finie de ce dernier coefficient dans lequel on-fait varier l'indice, de l'unité. Ainsi dans le produit de A par la nième puissance de C, le coefficient sera la différence niême du coefficient correspondant. de A. ...Bétant ici égal à l'unité plus C; la puissance nième de B, est identiquement égale à la même puissance du binome, un plus C. En multipliant donc par A ces deux puissances; les deux produits seront identiques. Or dans le produit de A par la puissance pième de B, le coefficient d'une puissance quelconque de la variable est, comme on l'a vu, le coefficient de la puissance supérieure denunités dans A; il est donc la fonction de l'indice augmenté du nombre n. Dans le produit de A par le développement du binome, un plus C; on aura par ce qui précède, les coefficiens correspondans, en écrivant au lieu des produits de A par les puissances successives de C, les différences successives de la fonction de l'indice dans A, et en multipliant parcette fonction, le termeindépendantdeC.Onaura donc une fonction quel. conque de l'indice augmenté de l'indéterminée

« EdellinenJatka »