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n, esprimée par les coefficiens des termes du développement de la puissance pième du - binome un plus un, rnultipliés respectivement par la fonction elle-même et ses différences • successives; ce qui donne l'interpolation des séries, au moyen des différences de leurs termes successifs. En supposant donc la série A, telle que la différence seconde, par exemple, de ses coefficiens, soit nulle; l'expression précédente de la fonction de l'indice augmenté de l'indéterminée n , s'arrêtera après ses deux premiers termes, et renfermera comme arbitraires indépendantes de cette indéterminée, les valeurs de la fonction et de sa première différence , lorsque l'indéterminée est nulle. On aura ainsi l'intégrale de l'équation aux différences finies, donnée par l'égalité à zéro, de la différence seconde de la fonction de l'indice. .

. . . . : La fonction génératrice de la différence nième du coefficient de A, étant le produit de A par la puissance nième de C; si l'on désigne ce produit par A', A sera la fonction généTátrice des intégrales pièmes de A', en faisant abstraction des constantes arbitraires que les intégrations introduisent. A étant A' divisé par la puissance nième de C;,on voit que la fonction génératrice des différences se change dans la fonction génératrice des intégrales., en ý

rendant négatif, l'exposant de la puissance de C. Cette correspondance sert de fondement à l'analogie observée entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales..

B étant toujours l'unité divisée par la variable, et D étant une fonction rationnelle et entière de ce quotient, fonction que, pour simplifier, nous supposerons du second degré; on aura le carré de B, égal à une fonction de B et de D, dans laquelle B ne sera qu'au premier degré. En multipliant par B, les deux membres de cette égalité, et en éliminant du second membre, le carré de B, au moyen de son expression; on aura la troisième puissance de B, exprimée par une fonction de B et de D, qui ne renfermera encore que la première puissance de B. En continuant ainsi, on parviendra à exprimer par une fonction semblable, la puissance nième de B. L'analyse fournit d'ailleurs pour cet objet, des moyens généraux et simples. Maintenant, que l'on multiplie par A, cette puissance et son expression, et que l'on repasse des fonctions génératrices à leurs coefficiens; le coefficient d'une puissance quelconque de la variable, dans le produit de A par la nième puissance de B, sera, comme on l'a vu, celui de A, dans lequel l'indice est augmenté du nombren.

Le coefficient de la même puissance, relatif au terme indépendant de B et de D, sera le produit de ce terme par le coefficient de A. Le coefficient du produit de A par D, sera une dérivée du coefficient de A, dérivée que nous désignerons par une nouvelle caractéristique placée devant ce coefficient. Le coefficient du produit de A par une puissance de D, sera exprimé par cette caractéristique affectée de l'exposant de la puissance et placée devant le coefficient de A. Enfin, on exprimera le coefficient du produit de A par B et par une puissance de D, en plaçant cette caractéristique affectée de l'exposant de la puissance, devant le coefficient de A, dans lequel on augmente l'indice, d'une unité. On aura ainsi la fonction de l'indice augmenté d'une indéterminée n, exprimée dans une série ordonnée par rapport aux puissances de la caractéristique dépendante de D. Cette expression qui est une généralisation de l'expression précédente en différences finies, sera d'autant plus convergente, que les coefficiens de A, approcheront plus de satisfaire aux relations représentées par l'égalité à zéro, des puissances de la caractéristique. L'égalité à zéro, de sa première puissance, rendra nulles, les puissances suivantes; et l'expression précédente sera l'intégrale complète de l'équation

aux différences finies linéaires, que cette égalité représente. · Concevons maintenant que A soit une fonction de deux variables (ce que nous allons dire, s'étend à un nombre quelconque de variables). En le développant dans une série ordonnée par rapport aux puissances de ces variables et à leurs produits; le coefficient du produit de deux puissances quelconques dans ce développement, sera une fonction des indices de ces puissances, dont A sera la fonction génératrice.

Si l'on multiplie A, par une fonction linéaire des deux variables, telle, par exemple, que l'anité plus deux fois la première variable, moins trois fois la seconde; le produit sera une nouvelle fonction génératrice dans laquelle le coefficient du produit de deux puissances quelconques de la variable, sera égal au coefficient du produit des mêmes puissances dans A, plus au double de ce même coefficient dans lequel on diminue d'une unité, l'indice de la première variable, moins au 'triple du même coefficient dans lequel l'indice de la seconde variable est diminué d'une unité. On pourra encore exprimer ce nouveau coefficient, par une caractéristique placée devant le coefficient de A. Cette caractéristique dépendra du multiplicateur de A, multiplicateur ..que nous désignerons par B.On verra comme

ci-dessus , que le coefficient correspondant dans le produit de A par une puissance quelconque de B, sera exprimé par cette caractéristique toujours placée devant le coefficient de A, et à laquelle on donne pour exposant, celui de la puissance de B. De là résultent

des théorèmes analogues à ceux qui sont re• latifs à une seule variable. On pourra déve

lopper d'une manière semblable, une fonction quelconque de deux indices augmentés respectivement de deux indéterminées n et n', dans une série ordonnée par rapport aux puissances d'une caractéristique. Montrons-le par un exemple. • Supposons que B soit l'unité divisée par la première variable ; que B'soit l'unité divisée par la seconde variable; et que Csoit égal à B moins un multiple de B', moins une constante. La puissance nième de B sera la même puissance du trinome, C plus ce multiple de B' plus cette constante; le produit de A par la puissance pième de B et par la puissance n'ième de B', est donc identiquement égal au produit de A, par le développement de la puissance pième de ce trinome, et par la puissance n'ième de B'. Repassons maintenant des fonctions génératrices, à leurs coefficiens. Le coefficient du produit de deux puissances quelconques

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