qui semblent par cette omission, ôter à ce calcul, la rigueur de l'algèbre, ne sont que des puissances de ces différentielles, supérieures aux puissances dont on compare les coefficiens, et qui par là, doivent être rejetées de cette comparaison; ensorte que le calcul différentiel a toute l'exactitude des autres opérations algébriques. Mais dans ses applications à la géométrie et à la mécanique, il est indispensable d'introduire le principe des limites. Par exemple, la soutangente d'une courbe étant la limite géométrique de la sousécante, ou la ligne dont celle-ci approche sans cesse, à mesure que les points d'intersection de la sécante avec la courbe, se rapprochent; l'expression analytique de la soutangente, doit être pareillement la limite de l'expression analytique de la sousécante; elle est, par conséquent, égale au premier terme de cette dernière expression développée suivant les puissances de l'intervalle qui sépare les ordonnées des deux points d'intersection.

On peut encore envisager la tangente, comme la droite dont l'équation approche le plus de celle de la courbe près du point de contingence. L'ordonnée de cette courbe, étant une fonction de l'abcisse; si à partir de 'ce point, on fait croître l'abcisse, d'une quantité indéterminée, suivant les puissances de

laquelle la fonction soit développée ; il est visible que la somme des deux premiers termes de ce développement, sera l'ordonnée de la droite la plus approchante de la courbe; elle sera, conséquemment, l'ordonnée de la tangente; et le coefficient de l'indéterminée dans le second terme, exprimera le rapport de l'ordonnée à la soutangente. Il est facile de prouver par le principe des limites, que toute autre droite menée par le point de contingence, entrerait dans la courbe près de ce point.

Cette manière singulièrement heureuse de parvenir à l'expression des soutangentes, est due à Fermat qui l'a étendue aux courbes transcendantes. Ce grand géomètre exprime par la caractéristique E, l'accroissement de l'abcisse; et en ne considérant que la première puissance de cet accroissement, il détermine exactement comme on le fait par le calcul différentiel, les soutangentes des cour→ bes, leurs points d'inflexion, les maxima et minima de leurs ordonnées, et généralement ceux des fonctions rationnelles. On voit même par sa belle solution du problème de la réfraction de la lumière, insérée dans le Recueil des Lettres de Descartes, qu'il savait étendre sa méthode aux fonctions irrationnelles, en se débarrassant des irrationnalités l'élévation des radicaux aux puissances. On

par

doit donc regarder Fermat, comme le véritable inventeur du calcul différentiel. Newton a depuis rendu ce calcul plus analytique, dans sa Méthode des Fluxions; et il en a simplifié et généralisé les procédés, par son beau théorème du binome. Enfin, presqu'en même tems, Leibnitz a enrichi le calcul différentiel, d'une notation qui en indiquant le passage du fini à l'infiniment petit, réunit à l'avantage d'exprimer les résultats généraux de ce calcul, celui de donner les premières valeurs approchées des différences et des sommes des quantités; notation qui s'est adaptée d'ellemême au calcul des différentielles partielles.

On est souvent conduit à des expressions, qui contiennent tant de termes et de facteurs, que les substitutions numériques y sont impraticables. C'est ce qui a lieu dans les ques→ tions de probabilité, lorsque l'on considère un grand nombre d'événemens. Cependant, il importe alors d'avoir la valeur numérique des formules, pour connaître avec quelle probabilité, les résultats que les événemens développent en se multipliant, sont indiqués. Il importe surtout d'avoir la loi suivant laquelle cette probabilité approche sans cesse de la certitude qu'elle finirait par atteindre, si le nombre des événemens devenait infini. Pour

y parvenir, je considérai que les intégrales

définies de différentielles multipliées par des facteurs élevés à de grandes puissances, donnaient par l'intégration, des formules composées d'un grand nombre de termes et de facteurs. Cette remarque me fit naître l'idée de transformer dans de semblables intégrales, les expressions compliquées de l'analyse, et les intégrales des équations aux différences. J'ai rempli cet objet, par une méthode qui donne à la fois, la fonction comprise sous le signe intégral, et les limites de l'intégration. Elle offre cela de remarquable, savoir que cette fonction est la fonction même génératrice des expressions et des équations proposées; ce qui rattache cette méthode, à la théorie des fonctions génératrices dont elle est ainsi le complément. Il ne s'agissait plus ensuite, que de réduire l'intégrale définie, en série convergente. C'est ce que j'ai obtenu par un procédé qui fait converger la série, avec d'autant plus de rapidité, que la formule qu'elle représente, est plus compliquée; ensorte qu'il est d'autant plus exact, qu'il devient plus nécessaire. Le plus souvent, la série a pour facteur, la racine carrée du rapport de la circonférence au diamètre : quelquefois, elle dépend d'autres transcendantes dont le nombre est infini.

Une remarque importante qui tient à la grande généralité de l'analyse, et qui permet

d'étendre cette méthode, aux formules et aux équations à différences, que la théorie des probabilités présente le plus fréquemment, est que les séries auxquelles on parvient, en supposant réelles et positives, les limites des intégrales définies, ont également lieu dans le cas où l'équation qui détermine ces limites, n'a que des racines négatives ou imaginaires. Ces passages du positif au négatif, et du réel à l'imaginaire, dont j'ai le premier fait usage, m'ont conduit encore aux valeurs de plusieurs intégrales définies singulières, que j'ai ensuite démontrées directement. On peut donc considérer ces passages, comme des moyens de découvertes, pareils à l'induction et à l'analogie, employées depuis long-tems par les géomètres, d'abord avec une extrême réserve, ensuite avec une entière confiance; un grand nombre d'exemples en ayant justifié l'emploi. Cependant il est toujours nécessaire de confirmer par des démonstrations directes, les résultats obtenus par ces divers moyens,

J'ai nommé calcul des fonctions génératrices, l'ensemble des méthodes précédentes: ce calcul sert de fondement à l'ouvrage que j'ai publié sous ce titre, Théorie analytique des Probabilités. Il se rattache à l'idée simple qu'eut Descartes, d'indiquer les multiplications répétées d'une quantité par elle-même, ou