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à la somme des boules noires qu'elles contiennent, diffère du précédent; en continuant indéfiniment, sur l'ensemble de ćes urnes, les extractions que nous venons d'indiquer; l'ordre simple établi dans les anciennes urnes sera d'abord troublé, et les rapports des boules blanches aux boules noires deviena dront irréguliers; mais peu à peu, cette irré gularité disparaîtra pour faire place à un nouvel ordre, qui sera enfin celui de l'égalité des rapports des boules blanches aux boules noires contenues dans les urnes. On peut étendre ces résultats, à toutes les combinaisons de la nature, dans lesquelles les forces constantes dont leurs élémens sont animés, établissent des modes réguliers d'action , propres à faire écloré du sein même du chaos, des systèmes régis par des lois admirables..

Les phénomènes qui semblent le plus dépendre du hasard, présentent donc en se multipliant, une tendance à se rapprocher sans cesse, de rapports fixes; de manière que si l'on conçoit de part et d'autre de chacun de ces rapports, un intervalle aussi petit que von youdra, la probabilité que le résultat moyen des observations tombe dans cet intervalle , finira par ne différer de la certitude, que d'une quantité au-dessous de toute grandeur assignable. On peut ainsi par le calcul des probabilités, appliqué à un grand nombre d'observations, reconnaître l'existence de ces rapports. Mais avant que d’en rechercher les causes, il est nécessaire, pour ne point s'égarer dans de vaines spéculations, de s'assurer qu'ils sont indiqués avec une probabilité qui ne permet point de les regarder comme des anomalies dues au hasard. La théorie des fonctions génératrices donne une expression très-simple de cette probabilité, que l'on obtient en intégrant le produit de la différentielle de la quantité dont le résultat déduit d'un grand nombre d'observations s'écarte de la vérité, par une constante moindre que l'unité, dépendante de la nature du problème, et élevée à une puissance dont l'exposant est le rapport du carré de cet écart, au nombre des observations. L'intégrale prise entre des liz mites données, et divisée par la même in-. tégrale étendue à l'infini positif et négatif, exprimera la probabilité que l'écart de la vén rité, est compris entre ces limites. Telle est la loi générale de la probabilité des résultats indiqués par un grand nombre d'observations

Application du Calcul des Probabilités,

à la Philosophie naturelle.

Les phénomènes de la nature sont le plus souvent, enveloppés de tant de circonstances étrangères , un si grand nombre de càuses perturbatrices y mêlent leur influence; qu'il est très-difficile de les reconnaître. On ne peut y parvenir, qu'en multipliant les observations ou les expériences, afin que les effets étrangers venant à se détruire réciproquement, les résultats moyens mettent en évidence cés phénomènes et leurs élémens divers. Plus les observations sont nombreuses, et moins elles s'écartent entre elles; plus leurs résultats approchent de la vérité. On remplit cette dernière condition, par le choix des méthodes, par la précision des instrumens, et par le soin que l'on met à bien observer; ensuite, on détermine par la théorie des probabilités, les résultats moyens les plus avantageux, ou ceux, qui donnent le moins de prise à l'erreur. Mais cela ne suffit pas; il est de plus, nécessaire d'apprécier la probabilité que les erreurs. de ces résultats sont comprises dans des limites données : sans cela, on n'a qu'une connaissance imparfaite du degré d'exactitude, ob tenu. Des formules propres à ces objets., sont

donc un vrai perfectionnement de la méthode des sciences, et qu'il est bien important d'ajouter à cette méthode. L'analyse qu'elles exigent, est la plus délicate et la plus difficile de la théorie des probabilités : c'est une des choses que j'ai eue principalement en vue dans l'ouvrage que j'ai publié sur cette théorie, et dans lequel je suis parvenu à des formules de ce genre, qui ont l'avantage remarquable d'être indépendantes de la loi de probabilité des erreurs, et de né renfermer que des quantités données par les observations mêmes, et par leurs expressions.

Chaque observation a pour expression analytique, une fonction des élémens que l'on veut déterminer; et si ces élémens sont à peu près connus, cette fonction devient une fonction linéaire de leurs corrections. En l'égalant à l'observation même, oni forme ce que l'on nomme équation de condition. Si l'on a un grand nombre d'équations semblables, on les combine de manière à obtenir autant d'équations finales, qu'il y a d'élémens dont on détermine ensuite les corrections, en résolvant ces équations. Mais quelle est la manière la plus avantageuse de combiner les équations de condition, pour obtenir les équations finales ? Quelle est la loi des erreurs dont les élémens que l'on en tire, sont encore susceptibles ? c'est ce que la théorie des probabilités fait connaitre. La formation d'une équation finale au moyen des équations de condition, revient à multiplier chacune de celles-ci, par un facteur indétermine, et à réunir ces produits; il faut donc choisir le sys: tème de facteurs, qui donne la plus petite erreur à craindre, Or il est visible que si l'on multiplie les erreurs possibles d'un élément, par leurs probabilités respectives; le système le plus avantageux sera celui dans lequel la somme de ces produits, tous pris positivement, est un minimum ; car une erreur positive ou négative doit être considérée comme une perte. En formant donc cette somme de produits, la condition du minimum déterminera le système de facteurs qu'il convient d'adopter, ou le système le plus avantageux, On trouve ainsi que ce système est celui des coefficiens des élémens, dans chaque équation de condition; ensorte que l'on forme une première équation finale, en multipliant respectivement chaque équation de condition, par son coefficient du premier élément, et en réunissant toutes ces équations ainsi multipliées. On forme une seconde équation finale, en employant de même', les coefficiens du second élément, et ainsi de suite. De cette manière, les élémens et les

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