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Application du Calcul des Probabilités,

à la Philosophie naturelle.

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Les phénomènes de la nature sont le plus souvent, enveloppés de tant de circonstances étrangères, un si grand nombre de càuses perturbatrices y mêlent leur influence; qu'il est très difficile de les reconnaître. On ne peut y parvenir, qu'en multipliant les observations ou les expériences, afin que les effets étran- , gers venant à se détruire réciproquement, les résultats moyens mettent en évidence cés phénomèpes et leurs élémens divers. Plus les observations sont nombreuses, et moins elles s'écartent entre elles; plus leurs résultats approchent de la vérité. On remplit cette dernière condition, par le choix des méthodes, par la précision des instrumens, et par le soin que l'on met à bien observer; ensuite, on détermine

par

la théorie des probabilités, les résultats moyens les plus avantageux, ou ceux, qui donnent le moins de prise à l'erreur. Mais cela ne suffit pas; il est de plus, nécessaire d'apprécier la probabilité que les erreurs, de ces résultats sont comprises dans des limites données : sans cela, on n'a qu'une connaissance imparfaite du degré d'exactitude, obtenu. Des formules propres à ces objets., şont

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donc un vrai perfectionnement de la méthode des sciences, et qu'il est bien important d'ajouter à cette méthode. L'analyse qu'elles exigent, est la plus délicate et la plus difficile de la théorie des probabilités:c'est une des choses que j'ai eue principalement en vue dans l'ouvrage que j'ai publié sur cette théorie, et dans lequel je suis parvenu à des formules de ce genre, qui ont l'avantage remarquable d'être indépendantes de la loi de probabilité des erreurs, et de né renfermer que des quantités données

par

les observations mêmes, et par leurs expressions.

Chaque observation a pour expression analytique, une fonction des élémens que l'on veut déterminer; et si ces élémens sont à peu près connus, cette fonction devient une fonction linéaire de leurs corrections. En l'égalant à l'observation même, on forme ce que l'on nomme équation de condition. Si l'on a un grand nombre d'équations semblables, on les combine de manière à obtenir autant d'équations finales, qu'il y a d'élémens dont on détermine ensuite les corrections, en résolvant ces équations. Mais quelle est la manière la plus avantageuse de combiner les équations de condition, pour obtenir les équations finales ? Quelle est la loi des erreurs dont les élémens que l'on en tire, sout encore susceptibles ? c'est ce que la théorie des probabilités fait connaitre. La formation d'une équation finale au moyen des équations de condition, revient à multiplier chacune de celles-ci, par un facteur indéterminé, et à réunir ces produits; il faut donc choisir le sys. tème de facteurs, qui donne la plus petite erreur à craindre, Or il est visible que si l'on multiplie les erreurs possibles d'un élément; par leurs probabilités respectives; le système le plus avantageux sera celui dans lequel la somme de ces produits, tous pris positivement, est un minimum ; car une erreur positive ou négative doit être considérée comme une perte. En formant donc cette somme de produits, la condition du minimum déter minera le système de facteurs qu'il convient d'adopter, ou le système le plus avantageux. On trouve ainsi que ce système est celui des coefficiens des élémens , dans chaque équation de condition ; ensorte que l'on forme une première équation finale, en multipliant respectivement chaque équation de condition, par son coefficient du premier élément, et en réunissant toutes ces équations ainsi multipliées. On forme une seconde équation finale, en employant de même, les coefficiens du second élément, et ainsi de suite. De cette manière, les élémens et les lois des phénomènes, renfermés dans le recueil d'un grand nombre d'observations, se développent avec le plus d'évidence.

La probabilité des erreurs que chaque élément laisse encore à craindre, est proportionnelle au nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, élevé à une puissance égale au carré de l'erreur , pris en moins, et multiplié par un coefficient constant qui peut être considéré comme le module de la

probabilité des erreurs; parce que l'erreur restant la même, sa probabilité décroît avec rapidité quand il augmente; ensorte que l'élément obtenu pèse, si je puis ainsi dire , vers la vérité, d'autant plus, que ce module est plus grand. Je nommerai par cette raison, ce module, poids de l'élémentou du résultat. Ce poids est le plus grand possible dans le système de facteurs, le plus avantageux ; c'est ce qui donne à ce système, la supériorité sur les autres. Par une analogie remarquable de ce poids, avec ceux des corps comparés à leur centre commun de gravité, il arrive que si un même élément est donné par divers systèmes composés, chacun, d'un grand nombre d'obseryations; le résultat moyen le plus avantageux de leur ensemble eșt la somme des produits de chaque résultat partiel, par son poids, cette somme étant divisée par celle de tous les poids:

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De plus, le poids total du résultat des divers systèmes, est la somme de leurs poids partiels; ensorte que la probabilité des erreurs du résultat moyen de leur ensemble, est proportionnelle au nombre qui a l'unité pour

logarithme hyperbolique, élevé à une puissance égale au carré de l'erreur, pris en moins, et multiplié par la somme de tous les poids. Chaque poids dépend, à la vérité, de la loi de probabilité des erreurs de chaque système, et presque toujours cette loi est inconnue; mais je suis heureusement parvenu à éliminer le facteur qui la renferme, au moyen de la somme des carrés des écarts des observations du système, de leur résultat moyen. Il serait donc à desirer, pour compléter nos connaissances sur les résultats obtenus par l'ensemble d'un grand nombre d'observations, qu'on écrivît à côté de chaque résultat, le poids qui lui correspond : l'analyse fournit pour cet objet , des méthodes générales et simples. Quand on a ainsi obtenu l'exponentielle qui représente la loi de probabilité des erreurs; on aura la probabilité que l'erreur du résultat est comprise dans des limites données, en prenant dans ces limites, l'intégrale du produit de cette exponentielle, par la différentielle de l'erreur, et en la multipliant par la rad carréedu poids du résultat, divisé par la circon.

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