lois des phénomènes, renfermés dans le recueil d'un grand nombre d'observations, se développent avec le plus d'évidence. · La probabilité des erreurs que chaque élément laisse encore à craindre, est proportionnelle au nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, élevé à une puissance égale au carré de l'erreur, pris en moins, et multiplié par un coefficient constant qui peut être considéré comme le module de la probabilité des erreurs; parce quel'erreur restant la même, sa probabilité décroît avec rapidité quand il augmente; ensorte que l'élément obtenu pèse, si je puis ainsi dire, vers la vérité, d'autant plus, que ce module est plus grand. Je nommerai par cette raison, ce module, poids de l'élémentou du résultat. Ce poids est le plus grand possible dans le système de facteurs, le plus avantageux ; c'est ce qui donne à ce système, la supériorité sur les autres. Par une analogie remarquable de ce poids, avec ceux des corps comparés à leur centre commun de gravité, il arrive que si un même élément est donné par divers systèmes com posés, chacun, d'un grand nombre d'obseryations; le résultat moyen le plus avantageux de leur ensemble est la somme des produits do chaque résultat partiel, par son poids, cette somme étant divisée par celle de tous les poids.

De plus, le poids total du résultat des divers
systèmes, est la somme de leurs poids par-
tiels; ensorte que la probabilité des erreurs
du résultat moyen de leur ensemble, est pro-
portionnelle au nombre qui a l'unité pour lo-
garithme hyperbolique, élevé à une puissance
égale au carré de l'erreur, pris en moins , et
multiplié par la somme de tous les poids.
Chaque poids dépend, à la vérité, de la loi de
probabilité des erreurs de chaque système,
et presque toujours cette loi est inconnue;
mais je suis heureusement parvenu à éliminer
le facteur qui la renferme, au moyen de la
somme des carrés des écarts des observations
du système, de leur résultat moyen. Il serait
donc à desirer, pour compléter nos connais-
sances sur les résultats obtenus par l'ensemble
d'un grand nombre d'observations, qu'on
écrivît à côté de chaque résultat, le poids
qui lui correspond : l'analyse fournit pour cet
objet, des méthodes générales et simples.
Quand on a ainsi obtenu l'exponentielle qui
représente la loi de probabilité des erreurs;
on aura la probabilité que l'erreur du résultat
est comprise dans des limites données, en
prenant dans ces limites, l'intégrale du pro-
duit de cette exponentielle, par la différentielle
de l'erreur, et en la multipliant par la racine
carréedu poids du résultat, divisé par la circon.

férence dont le diamètre est l'unité. De là il suit que pour une même probabilité, les erreurs des résultats, sont réciproques aux racines carrées de leurs poids; ce qui peut servir

à comparer leurs précisions respectives. :: Pour appliquer cette méthode avec succès,

il faut varier les circonstances des observations ou des expériences, de manière à éviter les causes constantes d'erreur. Il faut que les observations soient nombreuses, et qu'elles le soient d'autant plus, qu'il y a plus d'élémens à déterminer; car le poids du résultat moyen croît comme le nombre des observations, divisé par le nombre des élémens. JI est encore nécessaire que les élémens suivent dans ces observations, une marche différente; car si la marche de deux élémens était rigoureusement la même, ce qui rendrait leurs coefficiens proportionnels dans les équations de condition ; ces élémens ne formeraient qu'une seule inconnue, et il serait impossible de les distinguer par ces observations. Enfin, il faut que les observations soient précises : cette condition, la première de toutes, auga mente beaucoup le poids du résultat, dont l'expression a pour diviseur, la somme des carrés des écarts des observations, de ce résultat. Avec ces précautions, on pourra faire usage de la méthode précédente, et mesurer

lé degré de confiance que méritent les résultats déduits d'un grand nombre d'observations.

La règle que nous venons de donner, pour conclure des équations de condition, les équations finales, revient à rendre un minimurn, la somme des carrés des erreurs des observations; car chaque équation de condition devient rigoureuse, en y substituant l'observation plus son erreur; et si l'on en tire l'expression de cette erreur, il est facile de voir que la condition du minimum de la somme des carrés de ces expressions, donne la règle dont il s'agit. Cette règle est d'autant plus précise, que les observations sont plus nombreuses; mais dans le cas même où leur nombre est petit, il paraît naturel d’employer la même règle qui dans tous les cas, offre un moyen simple d'obtenir sans tâtonnement, les corrections que l'on cherche à déterminer. Elle peut servir encore à comparer la précision de diverses Tables astronomiques d'un même astre. Ces Tables peuvent toujours être sufposées réduites à la même forme, et alors elles ne diffèrent que par les époques, les moyens mouvemens, et les coefficiens des argumens ; car si l'une d'elles contient un coef ficient qui ne se trouve point dans les autres, il est clair que cela revient à supposer nul, dans celles-ci, le coefficient de cet argument. Si, maintenant, on rectifiait ces Tables, par la totalité des bonnes observations; elles satisferaient à la condition que la somme des carrés des erreurs soit un minimum; les Tables qui comparées à un nombre considé rable d'observations, approchent le plus de : cette condition, méritent donc la préférence.

C'est principalement dans l'astronomie, que la méthode exposée ci-dessus peut être employée avec avantage. Les Tables astronomi- ques doivent l'exactitude vraiment étonnante qu'elles ont atteinte, à la précision des observations et des théories, et à l'usage des équations de condition, qui font concourir un grand nombre d'excellentes observations, à : la correction d'un même élément. Mais il restait à déterminer la probabilité des erreurs que cette correction laisse encore à craindre: c'est ce que la méthode que je viens d'exposer, fait connaître. Pour en donner quelques applications intéressantes, j'ai profité de l'immense travail que Bouvard vient de terminer sur les mouvemens de Jupiter et de Saturne, dont il a construit des Tables très-précises.. Il a discuté avec le plus grand soin, les op positions et les quadratures de ces deux planètes, observées par Bradley et par les astronomes qui l'ont suivi, jusqu'à ces dernières : années ; il en a conclu les corrections des