II. 7. Es seien Lösung des gruppentheoretischen Problems. A. Definition der Untergruppen. elliptische Substitutionen, deren Perioden 1, 2, ..., irgend welche positiven ganzen Zahlen sind. Wenn wir eine Zahlu∞ setzen, so soll hiermit verstanden werden, dass die entsprechende Substitution parabolisch ist. Eine beliebige S; unter diesen Substitutionen bildet mit ihren positiven und negativen Potenzen eine zyklische Gruppe der Ordnung . Die Polygonteilung dieser Gruppe wird gewonnen, indem man von dem einen Fixpunkt von S; zum anderen eine sich nicht schneidende Kurve zieht, welche nur der Bedingung unterworfen ist keine bezüglich der zyklischen Gruppe äquivalenten Punkte zu enthalten. (Im parabolischen Falle zieht man eine durch den Fixpunkt gehende geschlossene Kurve). Vermittels der Potenzen von S; wird dann als Polygonnetz eine Anzahl von nebeneinander gelegenen Zweiecken erhalten, welche in den Fixpunkten ihre gemeinsamen Spitzen haben. Indem wir unter diesen Zweiecken dasjenige fortlassen, welches sich ins Unendliche erstreckt, erhalten wir einen Bereich, den wir kurz „Sichel" nennen. Wir nehmen jetzt eine Anzahl elliptischer oder parabolischer Substitutionen, deren Sicheln ausserhalb einander gewählt werden können. Unter dieser Bedingung ist die von ihnen erzeugte Gruppe I sicher eigentlich diskontinuierlich. Der Fundamentalbereich dieser Gruppe besteht aus dem ausserhalb der Sicheln gelegenen Teil der Ebene. Vermöge der Substitutionen von I wird man eine unendliche Anzahl von ineinander geschalteten Sicheln erhalten. Indem wir den ursprünglichen Sicheln die Stufenzahl Eins beilegen, nennen wir die von ihnen nächst umschlossenen Sicheln Sicheln zweiter Stufe", u. s. w. Bei unbegrenzt wachsender Stufenzahl werden die Dimensionen der Sicheln unendlich klein. Sie häufen sich dabei nach den unendlich vielen Grenzpunkten der Gruppe. Unsere Gruppe I hat das Geschlecht Null. Zu diesem Ergebnis gelangt man ganz einfach, wenn man vermittels einer stereographischen Projektion zu der Riemannschen Kugelfläche übergeht und dort den Fundamentalbereich in eine geschlossene Mannigfaltigkeit verwandelt, indem man durch eine stetige Deformation die paarweise äquivalenten Randpunkte jeder einzelnen Sichel zusammenfallen lässt. Man erhält dann eine Vollkugel, die ja eine Fläche vom Geschlecht Null ist. 8. Wir fügen jetzt dem Fundamentalbereich B von I alle diejenigen Bereiche hinzu, welche aus ihm vermittels der Potenzen einer beliebig gewählten erzeugenden Substitution S hervorgehen, und erhalten einen zusammenhängenden, von Sicheln begrenzten Bereich B1, welcher den Fundamentalbereich einer gewissen Untergruppe I, bildet. Diese Gruppe T1, welche neben den Substitutionen als erzeugende Substitutionen hat, ist von derselben Art wie T. Man kann ferner die Substitutionen yon I in Horizontalreihen 1, ordnen, wo die erste Reihe die Gesamtheit der Substitutionen von I, enthält und wo T1, T2,... Tμ welche die von der Identität verschiedenen Potenzen von S darstellen, ein Repräsentantensystem" der Untergruppe I, bezüglich der Gruppe I bilden 1). In der Tat sei irgend eine Substitution von T. Das zugehörige Polygon bildet mit gewissen 1 anderen damit hinsichtlich I kongruenten Polygonen ein Polygon von I1. Wenn M mit S dien Substitution von I bezeichnet wird, so wird das erstgenannte, der Substitution angehörige Polygon durch S-1 auf einen Bereich abgebildet, welcher einer gewissen Potenz T, von S entspricht. Aus ES-1-T, folgt aber = Σ= Τ, 8, womit bewiesen ist, dass T, eine Untergruppe des Index M von I ist. Wir können jetzt die Gruppe I, in ähnlicher Weise zerlegen, und indem wir so weiter gehen, definieren wir eine unendliche Folge von Untergruppen unter welchen jede in allen vorgehenden als Untergruppe enthalten ist. Bei der Wahl dieser Untergruppen hat man nur bei unbegrenzt wachsendaran festzuhalten, dass die zugehörigen Fundamentalbereiche sich bei unbegrenzt wachsendem Index n über das ganze Polygonnetz ausdehnen, d. h. keinen von den Grenzpunkten verschiedenen Punkt unbedeckt lassen. Im Falle lauter elliptischer Substitutionen wachsen dabei die Stufenzahlen der Randsicheln der Fundamentalbereiche mit dem Index n unbegrenzt. 1) Wegen der Terminologie vgl. R, FRICKE und F. KLEIN, Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Bd. I S. 310. 9. Wir führen hier eine Klassifizierung der Substitutionen der vorgelegten Gruppe I ein, indem wir eine Substitution die Potenzen der Primfaktoren enthält, eine Substitution vter Stufe" nennen und kurz mit So bezeichnen. Vermöge (7) wird jede Randsichel S;, wo ii, ist, auf eine Sichel (+1)ter Stufe abgebildet. Ferner bemerken wir, dass allgemein eine Sichel (+ 1)ter Stufe eine zyklische Gruppe von Substitutionen (2v+1)ter Ordnung definiert, deren Fundamentalbereich aus dem Äusseren der Sichel besteht. Für die .oben besprochene Sichel z. B. hat diese zyklische Gruppe SS, S als erzeugende Substitution. n Es sei nun N die kleinste Stufenzahl der Randsicheln des Fundamentalbereichs B, von I. Die niederste bei den erzeugenden Substitutionen von I, auftretende Stufenzahl ist dann 2 N - 1. Wir behaupten, dass jede Substitution von I, die keine Potenz der ersteren ist, von höherer als (2 N-1)ter Stufe ist. (N Zum Beweis schreiben wir eine beliebige Substitution S) von I, in der Form 1) wo S; eine erzeugende Substitution von ist. Wenn ein Fixpunkt von S; ist, liegt der Punkt S-1 11 (5) als Eckpunkt einer Sichel Nter Stufe auf der Berandung von B, oder innerhalb B,. Der mit S() inbezug auf T, äquivalente Punkt S() muss dann entweder mit dem ersteren Punkt zusammenfallen oder ausserhalb B, liegen, denn zwei verschiedene Eckpunkte der Randsicheln von B,, können nicht mit einander inbezug auf I konjugiert sein. Im ersten Falle, wo S, offenbar eine erzeugende Substitution von I,, oder eine Potenz einer solchen Substitution ist, hat man - N-N-1, oder 2 N 1, im zweiten Falle ist wieder - N> N1 oder also >2 N-1, womit unsere Behauptung bewiesen ist. v v= B. Bildung der Hauptfunktionen. 10. Die automorphen Funktionen einer Gruppe vom Geschlecht Null können bekanntlich durch eine spezielle unter ihnen rational dargestellt werden. Um diese Hauptfunktion, die im Fundamentalbereich einwertig ist, im vorliegenden Falle eindeutig zu fixieren, setzen wir fest, dass sie in der Umgebung des unendlich fernen Punktes eine Reihenentwicklung der Form C1 C.2 2+ + + z2 gestatte. Dass zwei verschiedene Funktionen dieser Bedingung nicht genügen können, ist daraus einzusehen, dass im entgegengesetzten Falle ihre Differenz eine überall endliche automorphe Funktion, also eine Konstante sein würde, die hier insbesondere den Wert Null hätte, weil in der obigen Reihenentwicklung kein von z freies Glied auftritt. (8) Hinsichtlich der unendlichen Folge der in obiger Weise definierten Hauptfunktionen besteht gleichmässig in jedem Bereich, der keinen Grenzpunkt der Gruppe I im Innern oder auf dem Rande enthält. Den entsprechenden Satz haben POINCARE 1) und SCHLESINGER 2) für gewisse Hauptkreisgruppen bewiesen. In unserem Beweis werden wir einem Verfahren folgen, welches von KOEBE u. a. beim Beweis des S. 6 erwähnten allgemeinen Uniformisierungssatzes angewandt worden. ist 3) und welches wesentlich auf dem Verzerrungssatze und der Cauchyschen Integralformel beruht. 11. Wir wählen z zunächst im Innern von B, ferner die Zahl N beliebig und dann n so gross, dass B, von Sicheln begrenzt ist, die sämtlich von Nter oder höherer Stufe sind. Nach N:0 8 ist dies stets möglich, wenn keine parabolischen Substitutionen vorhanden sind. In dem folgenden Beweis wird diese beschränkende Voraussetzung gemacht 4). Wir bezeichnen mit C, eine beliebige Randkurve des Bereichs F, welcher von der Gesamtheit der Sicheln uter Stufe begrenzt ist. Für u<N ist dann F sicher ein Teil von B. Um den Nullpunkt als Mittelpunkt ziehen wir jetzt einen Kreis K mit dem Radius e, Iwelcher den Punkt z sowie die Gesamtheit der Sicheln umschliesst. Für die Funktion » (2) = fn (2) – welche im Bereiche B, überall eindeutig und regulär ist, hat man auf Grund des Cauchyschen Lehrsatzes die Darstellung wo für C der Reihe nach sämtliche Randkurven von F zu setzen sind. μ Das letzte Integral hat offenbar den Wert Null. Ein beliebiges Glied der ersten Summe *) Wir werden später unter gewissen Voraussetzungen einen neuen Beweis dieses Satzes geben, welcher auch im Falle parabolischer Substitutionen gültig bleibt. wo So ein auf der Kurve Cu beliebig genommener Punkt ist. Wenn d die kleinste Entfernung (n) des Punktes z von der Berandung des Bereichs B ist, wenn ferner A die Schwankung von fn (2) auf C, und l die Länge von C, bedeutet, so wird ersichtlich das obige Integral dem a bsoluten Betrage nach kleiner als 2πα Σ4+ die Summierung über die sämtlichen Randkurven von F bzw. die bezüglichen Schwankungen von fn (2) erstreckt. Für den Beweis des Satzes ist es also hinreichend zu zeigen, dass bei einer beliebig vorgeschriebenen kleinen positiven Zahl & die Ungleichungen stets für genügend grosse Werte gelten, wenn u passend gewählt ist. 12. Es sei S, (2) diejenige Substitution der Gruppe I, welche den Fundamentalbereich B auf einen Teilbereich von F abbildet, der mit F, die Randkurve C, gemeinsam hat. Die Grösse A können wir dann als die Schwankung der Funktion (n) μ 4 (2) = fn (Sμ (2)) (0) auf der zu C äquivalenten Randkurve C des Bereichs B auffassen. Cu u<N-1 wählen, so wird (2) eindeutig und einwertig nicht nur in B, sondern auch in dem grösseren Bereich F1, welcher von den Sicheln zweiter Stufe begrenzt ist und den Bereich B als einen ganz im Innern liegenden Teilbereich enthält. Auf den innerhalb des oben definierten Kreises K liegenden Teil B von B, wo (2) eindeutig, regulär und einwertig ist, wollen wir nun den Koebeschen Verzerrungssatz in seiner allgemeinen Form 1) anwenden. Wir erhalten dann für zwei beliebige Punkte z1 und z2 des Bereichs B die doppelte Ungleichung wo g eine nur von der Form des Bereichs B und von e abhängige positive Grösse ist. Es sei jetzt ein Kreis in B mit dem Flächeninhalt to, ferner t," der Inhalt des verx, (2) = f (S (2)) erhaltenen schlichten Bildbereichs von Ko. Dann ist mittels 1) Vgl. R. FRICKE und F. KLEIN, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen, Bd. II, S. 514. |