joueur ayant une fortune de cent francs, en expose cinquante au jeu de croix ou pile; sa fortune après sa mise au jeu, sera réduite à quatre-vingt-sept francs, c'est-à-dire que cette dernière somme procurerait au joueur, le même avantage moral, que l'état de sa fortune après sa mise. Le jeu est donc désavantageux, dans le cas même où la mise est égale au produit de la somme espérée, par sa probabilité. On peut juger par là de l'immoralité des jeux dans lesquels la somme espérée est au-dessous de ce produit. Ils ne subsistent que par les faux raisonnemens et par la cupidité qu'ils fomentent, et qui portant le peuple à sacrifier son nécessaire, à des espérances chimériques dont il est hors d'état d'apprécier l'invraisemblance, sont la source d'une infinité de maux.

Le désavantage des jeux, l'avantage de ne pas exposer au même danger, tout le bien qu'on attend, et tous les résultats semblables indiqués par le bon sens, subsistent, quelle que soit la fonction de la fortune physique qui, pour chaque individu, exprime sa fortune morale. Il suffit que le rapport de l'accroissement de cette fonction à l'accroissement de la fortune physique, diminue à mesure que celle-ci augmente.

Des méthodes analytiques du Calcul des Probabilités.

L'application des principes que nous venons d'exposer, aux diverses questions de probabilité, exige des méthodes dont la recherche a donné naissance à plusieurs branches de l'Analyse, et spécialement à la théorie des combinaisons, et au calcul des différences finies.

Si l'on forme le produit des binomes, l'unité plus une première lettre, l'unité plus une seconde lettre, l'unité plus une troisième lettre, et ainsi de suite, jusqu'à n lettres; en retranchant l'unité, de ce produit développé, on aura la somme des combinaisons de toutes ces lettres prises une à une, deux à deux, trois à trois, etc.; chaque combinaison ayant l'unité, pour coefficient. Pour avoir le nombre des combinaisons de ces n lettres prises sàs, on observera que si l'on suppose ces lettres égales entre elles, le produit précédent deviendra la puissance n du binome, un plus la première lettre; ainsi le nombre des combinaisons des n lettres prises s à s, sera le coefficient de la puissance s de la première lettre, dans le développement de ce binome; on aura donc ce nombre, par la formule connue du binome.

On aura égard à la situation respective des lettres dans chaque combinaison, en observant que si l'on joint une seconde lettre à la première, on peut la placer au premier et au second rang; ce qui donne deux combinaisons. Si l'on joint à ces combinaisons, une troisième lettre, on peut lui donner dans chaque combinaison, le premier, le second et le troisième rang; ce qui forme trois combinaisons relatives à chacune des deux autres; en tout, six combinaisons. De là il est facile de conclure que nombre des arrangemens dont s lettres sont susceptibles, est le produit des nombres depuis l'unité jusqu'à s; il faut donc pour avoir égard à la situation respective des lettres, multiplier par ce produit, le nombre des combinaisons des n lettres, prises s à s; ce qui revient à supprimer le dénominateur du coefficient du terme du binome, qui exprime ce nombre.

le

Imaginons une loterie composée de n numéros dont r sortent à chaque tirage: on demande la probabilité de la sortie de s numéros donnés, dans un tirage. Pour y parvenir, on déterminera le nombre des combinaisons des n numéros pris sà s. Ensuite, on déterminera le nombre des combinaisons de r numéros pris semblablement s à s. Le rapport de ce dernier nombre au

précédent, est évidemment la probabilité que les s numéros donnés seront compris dans les r numéros qui doivent sortir; ce rapport est donc la probabilité demandée. Ainsi, dans la loterie de France, formée, comme on sait, de go numéros dont cinq sortent à chaque tirage; la probabilité de la sortie d'un extrait donné est

ou; la loterie devrait donc alors pour l'égalité du jeu, rendre dix-huit fois la mise. Le nombre total des combinaisons deux à deux, de go numéros est 4005, et il en sort dix à chaque tirage. La probabilité de la sortie d'un ambe donné est donc et la loterie devrait rendre alors quatre cents fois et demie, la mise : elle devrait la rendre 11748 fois pour un terne, 511038 fois pour un quaterne, et 43949268 fois pour un quine. La loterie est loin de faire aux joueurs, ces avantages.

Supposons dans une urne, a boules blanches et b boules noires, et qu'après en avoir extrait une boule, on la remette dans l'urne: on demande la probabilité que dans le nombre n de tirages, on amènera m boules blanches et n-m boules noires. Il est clair que le nombre de cas qui peuvent arriver à chaque tirage est a plus b. Chaque cas du second tirage, pouvant se combiner avec tous les cas du premier; le nombre

de cas possibles en deux tirages, est le carré du binome, a plus b. Dans le développement de ce carré, le carré de a exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux fois une boule blanche; le double produit de a par b, exprime le nombre des cas dans lesquels une boule blanche et une boule noire sont amenées; enfin le carré de b exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux boules noires. En continuant ainsi, on voit généralement que la puissance n du binome a plus b, exprime le nombre de tous les cas possibles dans n tirages; et que dans le développement de cette puissance, le terme multiplié par la puissance m de a, exprime le nombre des cas dans lesquels on peut amener in boules blanches, et n-m boules noires. En divisant donc ce terme par la puissance entière du binome, on aura la probabilité d'amener m boules blanches et n-m boules noires. Le rapport des nombres a et a plus b, étant la probabilité d'amener une boule blanche dans un tirage; et le rapport des nombres b et a plus b, étant la probabilité d'amener une boule noire ; si l'on nomme p et q ces probabilités, la probabilité d'amener m boules blanches dans n tirages, sera le terme multiplié par la puissance m dep, dans le développement de la puissance n