cerne les séries et l'intégration des équations aux différences, en découle avec une extrême facilité.

APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS.

Des Jeux.

Les combinaisons que les jeux présentent, ont été l'objet des premières recherches sur les probabilités. Dans l'infinie variété de ces combinaisons, plusieurs d'entre elles se prêtent avec facilité au calcul d'autres exigent des calculs plus difficiles; et les difficultés croissant à mesure que les combinaisons deviennent plus compliquées, le désir de les surmonter et la curiosité ont excité les géomètres à perfectionner de plus en plus, ce genre d'analyse. On a vu précédemment que l'on pouvait facilement déterminer par la théorie des combinaisons, les bénéfices d'une loterie. Mais il est plus difficile de savoir en combien de tirages on peut parier un contre un, par exemple, que tous les numéros seront sortis. n étant le nombre des numéros, r celui des numéros sortans à chaque tirage, et i le nombre inconnu de tirages; l'expression de la probabilité de la sortie de tous les numéros, dépend de la différence finie nième de la puissance i d'un produit de r nombres consécutifs.

Lorsque le nombre n est considérable, la recherche de la valeur de i, qui rend cette probabilité égale à ÷, devient impossible, à moins qu'on ne convertisse cette différence, dans une série très convergente. C'est ce que l'on fait heureusement par la méthode ci-dessus indiquée pour les approximations des fonctions de très grands nombres. On trouve ainsi que la loterie étant composée de dix mille numéros dont un seul sort à chaque tirage; il y a du désavantage à parier un contre un, que tous les numéros sortiront dans 95767 tirages, et de l'avantage à faire le même pari pour 95768 tirages. A la loterie de France, ce pari est désavantageux pour 85 tirages, et avantageux pour 86 tirages.

Considérons encore deux joueurs A et B jouant ensemble à croix ou pile, de manière qu'à chaque coup, si croix arrive, A donne un jeton à B qui lui en donne un, si pile arrive : le nombre des jetons de B est limité; celui des jetons de A est illimité; et la partie ne doit finir que lorsque Bn'aura plus de jetons. On demande en combien de coups, on peut parier un contre un, que la partie sera terminée. L'expression de la probabilité que la partie sera terminée dans un nombre i de coups, est donnée par une suite. qui renferme un grand nombre de termes et de

facteurs, si le nombre des jetons de B est considérable; la recherche de la valeur de l'inconnue i qui rend cette suite égale à¦, serait donc alors impossible, si l'on ne parvenait pas à réduire la suite dans une série très convergente. En lui appliquant la méthode dont on vient de parler, on trouve une expression fort simple de l'inconnue, de laquelle il résulte que si, par exemple, B a cent jetons; il y a un peu moins d'un contre un à parier que la partie sera finie en 23780 coups, et un peu plus d'un contre un à parier qu'elle sera finie dans 23781 coups.

Ces deux exemples joints à ceux que nous avons déjà donnés, suffisent pour faire voir comment les problèmes sur les jeux ont pu contribuer à la perfection de l'Analyse.

Des inégalités inconnues qui peuvent exister entre les chances que l'on suppose égales.

Les inégalités de ce genre ont sur les résultats du calcul des probabilités, une influence sensible qui mérite une attention particulière. Considérons le jeu de croix ou pile, et supposons qu'il soit également facile d'amener l'une ou l'autre face de la pièce. Alors la probabilité d'amener croix au premier coup est, et celle de l'amener deux fois de suite, est 4. Mais s'il

existe dans la pièce, une inégalité qui fasse paraître une des faces plutôt que l'autre, sans que l'on connaisse quelle est la face favorisée par cette inégalité; la probabilité d'amener croix au premier coup sera toujours; parce que dans l'ignorance où l'on est de la face que cette inégalité favorise, autant la probabilité de l'évènement simple est augmentée, si cette inégalité lui est favorable, autant elle est diminuée, si l'inégalité lui est contraire. Mais dans cette ignorance même, la probabilité d'amener croix deux fois de suite, est augmentée. En effet, cette probabilité est celle d'amener croix au premier coup, multipliée par la probabilité que l'ayant amené au premier coup, on l'amènera au second; or son arrivée au premier coup est un motif de croire que l'inégalité de la pièce le favorise; l'inégalité inconnue augmente donc alors la probabilité d'amener croix au second coup; elle accroît par conséquent le produit des deux probabilités. Pour soumettre cet objet au calcul, supposons que cette inégalité augmente d'un vingtième, la probabilité de l'évènement simple qu'elle favorise. Si cet évènement est croix, sa probabilité sera plusou, et la probabilité. de l'amener deux fois de suite, sera le carré de

ou 13. Si l'évènement favorisé est pile, la

400

400

20

probabilité de croix sera moins ou, et la probabilité de l'amener deux fois de suite sera. Comme on n'a d'avance, aucune raison de croire que l'inégalité favorise l'un de ces événemens plutôt que l'autre; il est clair que pour avoir la probabilité de l'évènement composé croix croix, il faut ajouter les deux probabilités précédentes, et prendre la moitié de leur somme; ce qui donne 40 pour cette probabilité qui surpasse, de ou du carré de l'accroissement que l'inégalité ajoute à la possibilité de l'évènement qu'elle favorise. La probabilité d'amener pile pile est pareillement 401; mais les probabilités d'amener croix pile, ou pile croix ne sont chacune, que %; car la somme de ces quatre probabilités, doit égaler la certitude ou l'unité. On trouve ainsi généralement que les causes constantes et inconnues qui favorisent les évènemens simples que l'on juge également possibles, accroissent toujours la probabilité de la répétition d'un même évènement simple.

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Dans un nombre pair de coups, croix et pile doivent arriver tous deux, ou un nombre pair ou un nombre impair de fois. La probabilité de chacun de ces cas est, si les possibilités des deux faces sont égales; mais s'il existe entre