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que la fonction f(2) se réduit elle-même à une constante. En vertu de l'hypothèse (A), la valeur absolue de cette constante est <M, et l'on aura donc bien |(2)|<M à l'intérieur du domaine donné.

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2. Dans un travail publié en commun avec M. PHRAGMÉN 1), nous avons donné différentes extensions du principe qui précède. Nous rappellerons ici la plus simple de ces extensions, qui nous permettra dans la suite d’abréger certaines démonstrations.

La fonction f(2) étant toujours régulière dans le domaine T, supposons que l'hypothèse (A) soit vérifiée pour les points § situés sur la frontière de ce domaine, sauf peut-être pour un nombre fini de ces points, 51, 52,..., En.

Admettons en outre que le module 11(2)| reste dans T au-dessous d'une limite finie M'.

Dans ces conditions, le résullat (1) aura encore lieu en tout point 2 pris à l'intérieur du domaine donné.

Puisque le domaine Test fini, le module du produit (2 — $,) (2-2)...(2-EX! y aura un maximum fini K. Posons

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1 K

0(z)= (2– $;) (2 – $) ... (2 – En) et considérons l'expression

F(2)= (2) (2), o étant une constante positive.

Comme (2)<1 dans le domaine T, on y aura F(x) <f(z)l. En vertu de nos hypothèses, l'inégalité F(2)! < M + ε sera donc vérifiée dans un voisinage suffisamment restreint d'un point quelconque situé sur la frontière de T, excepté peut-être les points $1, $2,..., & ni Mais en ces points 0 (2) s'annule, et, puisque par hypothèse 11 (2) < M' dans T, l'inégalité précédente aura donc lieu aussi dans un voisinage suffisamment restreint de l'un quelconque de ces points.

Le principe fondamental nous apprend dès lors qu'on a à l'intérieur de T

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et, comme cette conclusion reste vraie quelque petit que soit o, il faut bien que le résultat (1) ait lieu dans T.

3. Voici maintenant dans quelles conditions nous allons nous servir du principe fondamental.

Soit 2 un domaine fini, limité par une seule ligne simple fermée 2) C, et soit f(z) une

1) E. PHRAGMÉN et ERNST LINDELÖF: Sur une extension d'un principe classique de l'Analyse et sur quelques propriétés des fonctions monogènes dans le voisinage d'un point singulier (Acta Mathematica, t. 31).

2) Nous dirons qu'un ensemble de points constitue une ligne simple, s'il existe une correspondance bi-univoque et continue entre les points de cet ensemble et ceux d'un arc de cercle. Un ensemble de points fonction monogène, régulière à l'intérieur de ce domaine et vérifiant en outre les conditions suivantes :

1° Elle est bornée dans le domaine 2, c'est-à-dire que son module 11(2)| y reste au-dessous d'une limite finie M.

2o Si le point 2 du domaine l est suffisamment rapproché de certains arcs (Y) du contour C, le module 11(2)| vérifie l'inégalité plus étroite

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o désignant une constante positive inférieure à M.

Quant aux arcs (y), nous admettrons cette dernière hypothèse:
3° On peut choisir (n − 1) transformations

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N —

donnant la représentation conforme du domaine 2 sur certains domaines simplement couverts 9,,2,,...,2,-1, de telle manière que chacune de ces transformations laisse invariant un certain point 2. pris à l'intérieur de 2, et que la portion commune 2, des domaines 9, 21,

., 2,-1 qui renferme ce point 2, soit limitée uniquement par des segments des arcs (y) et de leurs transformés par les substitutions (2).

Dans ces conditions, le module de la fonction f(x) vérifie au point 2, l'inégalité

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En effet, la substitution (2) transforme f(2) en une fonction de &

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qui est régulière dans 2,, et dont le module est inférieur à M dans tout ce domaine et inférieur à o aux points qui sont suffisamment rapprochés des segments de son contour correspondant aux arcs (y) du contour C. Puisque par hypothèse W» (io)=zo, on aura d'ailleurs f.(20)=1(20).

On en conclut que la fonction

F(2)=f(2) f. (2)...fr-1(2)

est régulière dans la portion commune 2, des domaines 2, 91,...,0,-1, et que son module

,, 2ni est inférieur à M"-?o en tout point du domaine e, qui est suffisamment rapproché d'un

2 point quelconque de son contour.

qui correspondent de la même manière aux points d'une circonférence complète, constitue une ligne simple fermée.

Nous supposons ici connues les propriétés des lignes simples et des domaines qu'elles limitent, en renvoyant pour ces questions au cours d'Analyse de M. CAMILLE JORDAN, au Mémoire de M. BROUWER: Beweis des Jordanschen Kurvensatzes (Mathematische Annalen, t. 69, 1910) et aux Mémoires de M. CARATHÉODORY cités au début.

1

En vertu du principe fondamental, l'inégalité F(x)\<M"-'o aura donc lieu en tout point situé à l'intérieur du domaine 20. Or cette inégalité se réduit pour 2=z, au résultat cherché (3).

Considérons en particulier le cas, qui interviendra souvent dans la suite, où le domaine 2 est constitué par un cercle C de centre 2, dont on aura enlevé certaines portions par des coupures, lesquelles joueront ici le rôle des arcs (y). Admettons d'ailleurs que le domaine 2 (couvert de hachures dans la figure ci-jointe) renferme intérieurement le point 2o.

Soit A B le plus grand parmi les arcs que les coupures () interceptent de la circonférence C. En prenant l'entier n assez grand pour que la nième partie de cette circonférence soit inférieure à AB, on pourra choisir comme substitutions (2) les n– 1 rotations suivantes autour du point 20:

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En effet, on voit immédiatement que, dans ces conditions, tout point de la circonférence C sera extérieur à l'un au moins des domaines 2,2,,..., 2n-1, d'où il suit que la portion commune de ces domaines qui renferme le point 2, est limitée uniquement par certains segments des coupures (v) et de leurs transformées par les rotations considérées ).

4. Après ces généralités, nous allons déduire de notre principe un théorème qui joue un rôle important dans différentes branches de l'Analyse. Pour mieux faire ressortir l'idée de la démonstration, nous nous placerons d'abord dans des conditions aussi simples que possible 2).

Soit f(a) une fonction monogène de la variable 2=a +rep qui est régulière à l'intérieur du domaine T défini par les inégalités

434 < 92, 0<r <R,

(4)

=

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et continue encore sur son contour, excepté peut-être le point a.

Si cette fonction tend vers une même limite w lorsque 2 tend vers a suivant le rayon Q = Pi ou suivant le rayon y=42, et si elle est bornée dans le domaine T, elle tendra uniformément vers w dans l'angle 9.<o<92, de sorte qu'elle sera continue encore au point 2=a.

Si, au contraire, la fonction f(x) tend sur les rayons en question vers des limites déterminées mais différentes entre elles, elle ne saurait être bornée dans le domaine T.

Si ce théorème est démontré pour une certaine valeur de l'angle 42 - 41, on l'étend immédiatement à une autre valeur quelconque de cet angle par une substitution de la forme

") Sous une forme différente, le procédé dont nous nous servons ici avait déjà été utilisé par

d'autres auteurs, notamment par M. PAINLEVÉ dans sa Thèse: Sur les lignes singulières des fonctions analytiques, page 29.

2) On peut aussi établir ce théorème en faisant la représentation conforme du domaine T sur un cercle, puis en appliquant la formule de Poisson. Voir par exemple le travail de l'auteur: Mémoire sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions monogènes et sur quelques propriétés nouvelles de ces fonctions dans le voisinage d'un point singulier essentiel (Tome XXXV de ce Recueil).

=

2

§-a=(2-a)". Sans restreindre la généralité, nous pouvons donc supposer qu'on ait 92–4.<.

Admettons d'abord que f(x) tende vers la même limite w sur les rayons y=4, et

Le nombre positif ε étant donné, nous pouvons alors déterminer un nombre R.(R) tel que, si sur les rayons en question on découpe des segments a A et a B de longueur Rs, l'inégalité 11(z) - w < € sera vérifiée pour tout point de ces segments, excepté le point a. Prenons à l'intérieur de T un point quelconque z, compris dans le cercle 12-al<, Re, et, de 2.

zo comme centre, traçons une circonférence C qui passe par le point a. Cette circonférence dé.

coupe du domaine Tune portion 2, limitée par deux segments rectilignes aa et , faisant respectivement partie des segments a A et a B, et l'arc a p de la circonférence C.

La somme des angles az, a et az, étant égale à 2 – 2 (42–41) et, par suite, supérieure à a, l'un au moins de ces angles dépassera. Il s'ensuit que, si l'on fait tourner le domaine 12 trois fois de suite autour du point zo, chaque fois de l'angle

et si l'on désigne par 2,,2,, 2, les domaines ainsi obtenus, la portion commune 2, de 2, 2,, 22,2, sera située tout entière à l'intérieur de C et, par suite, limitée uniquement par certaines portions des segments a a et et de leurs transformés par les rotations considérées.

En vertu de nos hypothèses, la fonction f(z) - w est régulière dans le domaine 2, et son module y reste au-dessous d'une limite finie M. D'autre part le module de cette fonction est inférieur à ε en tout point des segments a a et , à l'exception du seul point a; mais celui-ci restera, ainsi que tous ses transformés, à l'extérieur du domaine 2..

En appliquant à la fonction f(2) – w les considérations du n° 3, on trouve donc

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2•

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2

1

3

0

3

3

4

1 4 E

2

11(20)-wl<M* & ou bien If (20) – WIKMA

< et, puisque cette conclusion est valable pour tout point 2, compris dans le cercle | 2 - a <Re,

, on voit bien que la fonction f(x) tend uniformément vers w dans l'angle 91<4 <42:

Supposons maintenant que f(x) tende sur les rayons q=4, et q=42 vers des limites différentes, w, et wg, et considérons la fonction

F(x)=(:(2) -- 2)

2

0,+w2

2

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En vertu de nos hypothèses, cette fonction est régulière dans le domaine T et continue encore sur son contour, excepté le point a; de plus elle tend sur chacun des rayons considérés vers la limite (67" :)

Si la fonction f(2) était bornée dans T, il en serait de même de F(e), et, en vertu de la première partie de notre théorème, cette dernière fonction devrait donc tendre uniformément vers la limite (*5*,)* dans l'angle 9, 54542. Mais cela exige que f(x) y tende

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uniformément soit vers W,, soit vers W2. Puisque cette conséquence n'est pas compatible avec notre hypothèse, on voit donc que, si cette hypothèse se trouve vérifiée, la fonction f(2) ne saurait être bornée dans le domaine T.

A

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5. Le théorème que nous venons de démontrer peut être généralisé comme suit:

Supposons que la fonction monogène f(x) soit régulière dans un domaine T admettant comme contour une ligne simple fermée S, et qu'elle soit continue encore sur ce contour, excepté peut-être un certain point a.

Soient S, et S, les portions de S limitées par le point a el un autre point quelconque P de ce contour.

Si la fonction f(x) tend vers une même limite w lorsque 2 tend vers a suivant S, ou suivant S2, et si elle est bornée dans T, elle tendra uniformément vers w lorsque 2 tend vers a dans ce domaine, et sera donc continue encore pour 2=a.

Si, au contraire, la fonction f(2) tend sur S, et S, vers des limites distinctes lorsque 2 tend vers a , elle ne saurait être bornée dans le domaine T.

Il suffira de démontrer la première partie de ce théorème, car la seconde partie s'en déduit comme au numéro précédent.

Du point a comme centre traçons une circonférence C, de rayon r qui coupe le contour S. Cette circonférence divise le domaine T en un nombre fini ou infini de portions distinctes, dont une seule, qui sera désignée par T, et qui est couverte de hachures dans la figure à côté, admet 2= a comme point de frontière. Désignons

As par A, et A, les premiers points, à partir du point a, où les lignes S, et S, rencontrent la circonférence Cr. Les segments

S a a A, et a A, de ces lignes divisent le cercle 12-a <r en deux domaines distincts, dont l'un, que nous désignerons par Tr, renferme T, comme partie. Nous admettrons que l'arc A, A, de C, qui fait partie de la frontière de T, est inférieur à 12 ar,

S, ce qui ne restreint pas la généralité puisqu'on peut toujours réaliser cette hypothèse par la substitution § - a=(2 — a)3.

Prenons maintenant un point %, à l'intérieur de T, et effectuons la transformation linéaire

Ś– 20 (6)

s-20 2, étant le conjugué du point 2, par rapport à la circonférence Cr. Cette transformation laisse invariants les points 2, et 2, et transforme en elle-même la circonférence C.. Si l'on fait tendre 2, vers a, %, tendra vers l'infini et la transformation (5) se réduira à la limite à une

12,

- al rotation de l'angle a autour du point a. Il s'ensuit que, si le rapport est inférieur à un certain nombre positif u, l'arc A, A, de la circonférence Cr, qui est par hypothèse infé

1 rieur à 32 ar, sera transformé par (5) en un arc A; A', de la même circonférence n'ayant

5' aucun point commun avec A, A2.

1

2

a

2

1 3

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1

2-20, 2-20

20

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r

3

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