TOM. XLVI N:0 4.

SUR UN PRINCIPE GÉNÉRAL DE L'ANALYSE

ET SES APPLICATIONS A

LA THÉORIE DE LA REPRÉSENTATION CONFORME

PAR

ERNST LINDELÖF

(PRÉSENTÉ LE 17 MAI 1915)

HELSINGFORS 1915
IMPRIMERIE DE LA SOCIÉTÉ DE LITTÉRATURE FINNOISE

Introduction.

On sait depuis longtemps que l'intérieur d'un domaine simplement connexe, dont la frontière comprend plus d'un point, peut être représenté d'une manière conforme sur l'intérieur d'un cercle, mais ce n'est que dans ces derniers temps qu'on est arrivé à traiter d'une manière générale le problème relatif à la correspondance entre les frontières des deux domaines 1).

Dans une Note récente 2) nous avons montré que cette dernière question peut être rattachée au principe classique suivant lequel le module d'une fonction monogène qui est régulière dans un domaine donné atteint toujours sa plus grande valeur sur la frontière de ce domaine. Toutefois il nous était nécessaire, dans cette courte Note, de nous borner au cas d'un domaine limité par une ligne simple fermée, du genre de celles qui ont fait l'objet des recherches de M. CAMILLE JORDAN 3).

Dans le présent Mémoire nous allons reprendre le problème dont il s'agit dans toute sa généralité, et nous allons faire voir que le principe élémentaire dont nous venons de parler permet d'établir très facilement les résultats obtenus jusqu'ici, et de les préciser et compléter sur certains points.

La première partie de notre Mémoire renferme différentes applications analytiques du principe en question, ainsi que certains théorèmes qui s'y rattachent, mais dont la démonstration exige l'emploi de la fonction modulaire. Dans la seconde partie nous appliquerons les résultats obtenus à la théorie de la représentation conforme.

1) Voir à ce sujet:

C. CARATHÉODORY: Über die gegenseitige Beziehung der Ränder bei der konformen Abbildung des Inneren einer Jordanschen Kurve auf einen Kreis (Mathematische Annalen, t. 73, 1913). Über die Begrenzung einfach zusammenhängender Gebiete (ibidem).

E. STUDY: Konforme Abbildung einfach-zusammenhängender Bereiche (B.-G. Teubner, 1913).

P. KOEBE: Ränderzuordnung bei konformer Abbildung (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1913). Les résultats résumés dans cette Note ont été développés dans un travail intitulé Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung (Journal de Crelle,

t. 145, p. 177-223), qui a paru après que nous avions achevé la rédaction de notre Mémoire.

W.-F. OSGOOD and E.-H. TAYLOR: Conformal transformations on the boundaries of their regions of

definition (Transactions of the American Mathematical Society, t. 14, 1913).

2) ERNST LINDELÖF: Sur la représentation conforme (Comptes rendus, t. 158, 26 janvier 1914).

*) Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, tome I, 2o édition, pages 90-100.

I. Quelques théorèmes d'Analyse.

1. Dans ce Mémoire nous aurons à nous servir du principe auquel nous venons de faire allusion sous la forme précise que voici:

PRINCIPE FONDAMENTAL.

Soient dans le plan de la variable complexe z un domaine fini simplement connexe, T, et une fonction monogène, f(z), régulière à l'intérieur de ce domaine et vérifiant pour tout point de son contour la condition suivante:

(A) Le nombre positif & étant donné aussi petit qu'on le veut, l'inégalité
| f (≈) | < M + ɛ,

où M désigne une constante positive, est vérifiée dès que le point 2, restant à l'intérieur de T, se trouve dans un voisinage suffisamment restreint du point §.

Dans ces conditions on aura en tout point z pris à l'intérieur du domaine T

le signe d'égalité ne pouvant d'ailleurs se présenter que dans les cas où la fonction f(z) se réduit à une constante.

Rappelons en quelques mots la démonstration de ce principe.

Soit G la limite supérieure du module |f(z)| dans le domaine T. Par un raisonnement bien connu, on démontre qu'il existe, à l'intérieur ou sur la frontière de T, au moins un point P tel que la limite supérieure de f(z)| soit égale à G dans la portion de T comprise dans un cercle quelconque ayant ce point comme centre.

Admettons d'abord qu'il n'existe pas de ces points P à l'intérieur de T, où l'on aura par suite f(z)|<G. La frontière de T comprend alors au moins un point tel que P, et l'hypothèse (A) nous montre dès lors qu'on a GM. Dans ce cas on aura donc |f(z) | < M pour tout point z pris à l'intérieur du domaine T.

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Supposons maintenant qu'il y ait à l'intérieur de T un point tel que P, et soit z。 son affixe et ro sa plus courte distance de la frontière de T. Puisque la fonction f(z) est continue au point z。, on aura d'abord |f(≈。)| = G. D'autre part, en faisant z-z。=re" (r <r。), la formule de CAUCHY nous donne

Puisque f (zo+re") ne saurait dépasser la valeur G pour aucune valeur, on aura nécessairement |f(+re")| = G pour 0<≤2, sans quoi le second membre serait inférieur à G. Donc le module |f(z)| conserve une valeur constante dans le cercle 2-zoro, et il s'ensuit