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dann zeigen, dass die Erzeugenden t, und tz von derjenigen Diametralebene ausgeschnitten werden, die durch die Polare p hindurchgeht. Es sind dabei t, und t, mit einander und mit p parallel. p

. Bei dem Beweis bemerken wir zuerst, dass jede Ebene des Ebenenbüschels, die M schneidet, ebenfalls E schneidet. Dabei schneidet sie aus E eine Gerade aus, die senkrecht auf p steht und die also p schneidet. Daraus erhellt, dass die betreffende Ebene ebenfalls die durch p gehende Diametralebene des Bündels schneidet und dies längs einem Bündelstrahl, der innerhalb von M liegt. Dieser Bündelstrahl liegt also zwischen denjenigen beiden Erzeugenden, in denen die betreffende Ebene des Ebenenbüschels die Mantelfläche M schneidet. Daraus erhellt, dass die tangierende Ebene gerade durch die Schnittlinie zwischen der Diametralebene durch p und der Mantelfläche M gehen muss. Damit ist die obige Behauptung bewiesen.

Übrigens kann folgendes hervorgehoben werden. Die Büschelachse a und die Ebene E legen ein Bündel dritter Art fest. Wie in der ersten Abteilung gezeigt wurde, giebt es dann unter den durch a gehenden Ebenen zwei, die die durch a gehenden, die Ebene E schneidenden Ebenen von den nicht schneidenden trennen. Diese Ebenen sind die oben betrachteten tangierenden Ebenen.

Abbildung der Ebene auf die Grenzkugel.

10. Die oben durchgeführten Überlegungen erhalten eine besonders einfache Form, falls wir die Grenzkugeln des Bündels mit in Betracht ziehen. Wir wählen in erster Linie dieje. nige Grenzkugel aus, die durch 0 hindurchgeht und also die Ebene E in 0 berührt, und wollen die durch die Bündelstrahlen besorgte Projektion der Ebene E auf die Grenzkugel näher untersuchen.

Die Mantelfläche M und die Grenzkugel schneiden sich in einem Kreis. Es bildet dabei der innerhalb von M liegende Teil der Grenzkugel eine Grenzkugelkalotte K. Ersichtlich haben wir dann als erstes Ergebnis den Satz.

Die ganze Ebene E wird durch die Bündelstrahlen auf die Kalotte K ein-eindeutig projiziert.

Die unendlich fernen Punkte der Ebene werden dabei auf die Kalottengrenze abgebildet.

Die Geraden der Ebene werden ersichtlich durch die Diametralebenen auf Grenzkreise projiziert. Dabei wird die ganze Gerade der Ebene auf dasjenige Stück des Grenzkreises abgebildet, das innerhalb der Kalotte K liegt. Die unendlich fernen Punkte der Geraden werden auf die beiden Endpunkte dieser Grenzkreissehne abgebildet.

Die Strahlenbüschel der Ebene E werden durch Vermittelung der zugehörigen Ebenenbüschel auf Grenzkreisbüschel abgebildet. Das Zentrum dieses Grenzkreisbüschels ist der Durchschnittspunkt zwischen der Büschelachse und der Grenzkugel. Insbesondere geht also ein Büschel erster Art in ein Grenzkreisbüschel über, dessen Zentrum innerhalb der Kalotte liegt, während das Büschel zweiter Art zu einem Büschel Anlass giebt, dessen Zentrum auf dem Kalottenrand liegt. Bei dem Büschel dritter Art liegt das Zentrum des entsprechenden Büschels auf der Grenzkugel ausserhalb des Kalottenrands, wobei natürlich nur derjenige Teil jedes Grenzkreises in Betracht kommt, der innerhalb der Kalotte liegt.

In dem dritten Fall ist weiter besonders zu beachten, wie sich die Polare des Strahlenbüschels auf die Grenzkugel abbildet. Die beiden im vorigen Abschnitt eingeführten durch die Achse a des zugehörigen Ebenenbüschels gehenden tangierenden Ebenen zur Mantelfläche M schneiden aus der Grenzkugel zwei Grenzkreise aus, die durch das Zentrum des Grenz. kreisbüschels gehen und den Kalottenrand tangieren, wobei die Berührungspunkte eben diejenigen Punkte sind, in denen die Erzeugenden t, und tą die Grenzkugel durchdringen. Er sichtlich wird nun die Polare p in denjenigen Grenzkreis übergeführt, der die beiden Berührungspunkte verbindet. Falls wir diesen Grenzkreis mit einem nahe liegenden Ausdruck die Polare des Büschelzentrums in Bezug auf den Kalottenrand nennen, so können wir zusammenfassend folgenden Satz formulieren.

Die Strahlenbüschel der Ebene werden auf Grenzkreisbüschel abgebildet. Dabei liegt das Zentrum des Grenzkreisbüschels innerhalb K, auf dem Rand von K oder ausserhalb K, jenachdem das gegebene Strahlenbüschel von der ersten, zweiten oder dritten Art ist. Insbesondere wird bei dem Büschel dritter Art die Polare des Büschels auf die Polare des Zentrums des Grenskreisbüschels in Bezug auf den Kalottenrand abgebildet.

Falls wir die Benennung harmonische Polaren für zwei Grenzkreise benützen, von denen der eine durch den Pol des anderen in Bezug auf den Kalottenrand geht, können wir ersichtlich den letzten Teil des Satzes kurz so aussagen:

Zwei auf einander senkrechte Geraden gehen in zwei harmonische Polaren über.

Geht insbesondere die Polare des Strahlenbüschels durch O, so geht das Büschel in ein Büschel paralleler Grenzkreise über, die sämtlich senkrecht auf dem Abbild der Polare stehen. Dies können wir dann auch folgendermassen ausdrücken.

Ein rechter Winkel der Ebene, dessen Schenkel durch 0 geht, wird auf einen rechten Winkel auf der Grenzkugel abgebildet.

Die hiermit gewonnenen Ergebnisse gelten natürlich für jede zum gegebenen Bündel gehörende Grenzkugel. Auf jeder wird nämlich durch die Mantelfläche M eine Kalotte begrenzt und die oben entwickelten Sätze lassen sich unverändert für alle diese Kalotten aussprechen.

11. Indem wir nunmehr zur ursprünglichen Grenzkugel zurückkehren, bezeichnen wir den Radius der Kalotte, von 0 aus längs der Grenzkugel gemessen, mit k und stellen uns die Aufgabe die Länge & des Albilds auf der Grenzkugel einer in der Ebene E von 0 auslaufenden Strecke von der Länge r zu berechnen.

Wir ziehen deshalb durch den anderen Endpunkt A der Strecke r die Senkrechte auf r in der Ebene E und durch O eine Parallele zu dieser Senkrechten. Der von der Strecker und der Parallelen eingeschlossene Winkel ist der zum Abstand r gehörende Parallelwinkel II (r).

Auf der Grenzkugel ensteht bei der Abbildung ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse k, der Kathete e und dem von diesen eingeschlossenen Winkel II (r). Weil die Geometrie auf der Grenzkugel euklidisch ist, wobei die Rolle der Geraden in der Euklid'schen Ebene von den Grenzkreisen übernommen wird, können wir die Formeln der gewöhnlichen Trigonometrie der Euklid'schen Ebene anwenden und erhalten

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Dies ist die gewünschte Beziehung zwischen g und r.

Aus demselben Dreieck geht hervor, dass die Länge des Abbilds der ganzen von A aus gezogenen Senkrechten k sin II (r) ist. Wir stellen uns jetzt die Aufgabe die Länge o des Abbilds einer von A aus längs der Senkrechten abgetragenen Strecke s zu berechnen.

Um diese Aufgabe zu lösen müssen wir vorbereitend eine Sache klar machen. Wir betrachten deshalb eine beliebige andere Grenzkugel des Bündels und bezeichnen den Radius der auf dieser vorkommenden Kalotte mit k' und das Abbild von r mit e'. Dann ist genau so wie oben (1')

p=k'cos II (r). Aus (1) und (1') folgt, dass

k (2)

e k'

Die Grenzkreisbögen å und e' sind aber Stücke zweier konzentrischer Grenzkreise, die zwischen denselben beiden Strahlen eines ebenen Büschels zweiter Art liegen. Falls wir derartige Bögen entsprechende Bögen nennen, so kann die Gleichung (2) durch folgenden Satz ausgedrückt werden.

Entsprechende Bögen zweier konzentrischer Grenzkreise sind proportional.

Nunmehr betrachten wir diejenige Grenzkugel des Bündels, die durch A geht und die also die oben eingeführte durch A gehende Senkrechte in A berührt. Die Projektion der Senkrechten auf dieser Grenzkugel ist k und die Projektion der Strecke s nach (1) gleich k cos II (s). Es bilden folglich k und k sin 17 (r), k cos II (s) und o entsprechende Bögen zweier konzentrischer Grenzkreise, woraus erhellt, dass

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12. Wir führen nunmehr ein Koordinatensystem in der Ebene ein, indem wir als Koordinatenachsen zwei beliebige auf einander senkrechte Geraden durch 0 wählen. Als die y-Koordinate eines Punkts bezeichnen wir seinen Abstand von der X-Achse, während die x-Koordinate den Abstand von 0 nach dem Fusspunkt der von dem Punkt auf die x-Achse gezogenen Senkrechten (y) bedeutet. Es bilden also x, y und der radius vector des Punkts ein rechtwinkliges Dreieck.

Auf der Grenzkugel führen wir als Koordinatenachsen die Abbilder der Achsen in der Ebene ein und als Koordinaten und in eines Punkts die Abbilder der Koordinaten des entsprechenden Punkts der Ebene. Dabei stellt dann n den längs einem Grenzkreisbogen gemessenen Abstand des Punkts von der S-Achse dar und den Abstand des Fusspunkts dieser Abstandlinie auf der S-Achse vom Koordinatenanfangspunkt.

Nach (1) und (3) ist unmittelbar für alle Punkte

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Um hieraus ganz allgemeingültige Formeln zwischen (x, y) und (£, n) zu erhalten, müssen wir festlegen, dass für einen negativen Argumentenwert

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die Übergangsformeln dar, die der Abbildung der Ebene auf die Grenzkugel entsprechen.

Übrigens kann bemerkt werden, dass auf der Grenzkugel, wo die Geometrie euklidisch ist, den Koordinaten & und n genau dieselben Eigenschaften zukommen wie den gewöhnlichen Cartesischen Koordinaten der Euklid'schen Ebene. $ und n sind also die Abstände des Punkts (5,9) von den Koordinatenachsen, gemessen längs der von dem Punkt auf die Achsen gezogenen senkrechten Grenzkreise.

Die Gleichung der Geraden. Bestimmung des Parallelwinkels.

13. Wir sind nunmehr im Stande die Gleichung der Geraden in den Koordinaten x und y aufzustellen.

Es sei also g eine beliebige Gerade in der Ebene, die nicht durch 0 geht. Wir bezeichnen den Abstand der Geraden von O mit p und mit w den von p und der X-Achse eingeschlossenen Winkel. Auf der Grenzkugel erhalten wir als Bild von g einen Grenzkreis y, dessen Abstand, längs der Grenzkugel gemessen, vom Koordinatenanfangspunkt O gleich k cos 17 (P) ist; weiter bildet die Abstandlinie mit der 5-Achse den Winkel w.

Die Gleichung des Grenzkreises y in den' Koordinaten & und n ist also

Ecos w + sin w=k cos II (p).

Tragen wir in diese Gleichung die Werte von § und n aus den Relationen (4) ein, so wird die Gleichung der Geraden g in den Koordinaten x und y nach Division mit k

(5)

cos II (2) COS 6 + sin II (x) cos II (y) sin w=cos II (p).

Diese Gleichung behält ihre Gültigkeit noch wenn die Gerade g durch 0 geht. Dann ist nämlich p gleich Null. Aus (1) folgt aber dann, dass cos II (p)=0 ist, woraus erhellt, dass die Gleichung der durch 0 gehenden Geraden die Form

cos II (x) cos w + sin II (x) cos IT (y) sin w=0

hat. w bedeutet dabei den Winkel, den die in 0 auf die Gerade gezogene Senkrechte mit der c-Achse bildet.

Die Gleichung (5) stellt also die allgemeine Form der Gleichung der Geraden in der Lobatscheffskij'schen Ebene dar.

1

14. Die Gleichung (5) erhält eine besonders einfache Form, wenn die Gerade g mit der xw X-Achse parallel ist. Dann ist nämlich w = Il (P) und es wird nach leichter Umformung (6)

cos II (Y)=cot 11 (p)• tg, 11 (x).

2 Mit Hilfe dieser Gleichung sind wir jetzt im Stande, den analytischen Ausdruck für den Parallelwinkel 17 (x) abzuleiten.

Wir nehmen deshalb an, dass die Gerade (6) die positive y-Achse schneidet und bezeichnen die Ordinate des Schnittpunkts mit yo. Es bilden nun die gegebene Gerade, die Senkrechte p und die Ordinate yo ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse yo, der Kathete p und dem von diesen eingeschlossenen Winkel 9 11(P). Die Projektion dieses Dreiecks auf

- P

2 die Grenzkugel ist ein ebenfalls rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse k cos 11 (yo), der Kathete k cos II (p) und dem Winkel - 11(P). Also ist

II p).

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2

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k cos II (p)
k cos II (yo)

oder (7)

cos II (yo) = cot II (P).

Mit Hilfe von (7) nimmt die Gleichung (6) die Form an

(6)

cos II (y)

= cos 11 (yo) tg 11 (x).

1 2

Die Gleichung (6') stellt ersichtlich eine ganz allgemeine Eigenschaft zweier paralleler Geraden dar. Diese Eigenschaft benützen wir, indem wir uns vorläufig auf positive x-Werte beschränken. Wir nehmen also zwei beliebige positive Werte x und a' und bezeichnen die Ordinaten in x und x + x' bezw. mit y und y'. Dann ist nicht nur

cos 11 (y')=cos II (ya)- tg 3 11 (x+x") sondern auch

cos II (y') = cos II (y) · tg 1 (x').

) = l 1

1 2

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1 2

Aus (6') und den beiden letzten Gleichungen folgt, dass für beliebige positive Werte x und x'

(8)

1 2

=

1 2

tg 11 (x+x') = tg 3 11 (x) · tg 2 1 (x"). Nun ist tg . 11 (x) eine stetige Funktion und wir können aus der Gleichung (8) schliessen, dass für positive Werte von x

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