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=

Bei dem Beweis erhalten wir zuerst aus dem rechtwinkligen Dreieck PP'A die Bezie

cos II (r') hung cos a =

Tragen wir hier k= ko cos 11 () ein, entsteht die zu (30) analoge cos II (r) Gleichung (32)

COS Q = cos II (').

k

ko

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Es ist somit 92= 1l (r'). Aus (30) und (32) schliessen wir dann aber, dass 4i=a ist.

Auf Grund der hiermit bewiesenen Beziehungen (31) geht die Gleichung (29) in die folgende über

1
X = X, – k log tg a + ko log tg, 11 (r").

).
2

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Hier bedeutet die linke Seite einfach den Abstand von dem Durchschnittspunkt A zwischen der Tangente und der X-Achse bis zu dem Punkt Yo, wo die Symmetrieachse die x-Achse schneidet. Bezeichnen wir diesen Abstand mit X, so ist somit nach der letzten Gleichung

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Es hängt somit der Neigungswinkel der Tangente in genau gleicher Weise von X ab, wie der zu einer Strecke in dem hyperbolischen Raum Rx gehörende Parallelwinkel von dieser Strecke abhängt.

Mit Hilfe der hiermit entwickelten Formel (33) können wir nun die in Nr. 24 ausgesprochene Enveloppeneigenschaft neu beweisen. Wir lassen dabei der Einfachkeit halber die vertikale Symmetriegerade mit der y-Achse zusammenfallen, indem wir x, =0 setzen. Es ist dann X die Abszisse des Durchschnittspunkts zwischen der Tangente und der x-Achse.

Ziehen wir nun diejenigen beiden Geraden x=const., die mit der Tangente parallel sind, so liegen sie ersichtlich zu der Geraden x= X symmetrisch. Bezeichnen wir das von ihnen auf der x-Achse abgegrenzte Stück mit 2t, so ist offenbar

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-= x(15%)
17
X

Hieraus folgt, dass die beiden genannten mit der Tangente parallelen Geraden x=const. einfach die Geraden

ko (34)

k sind. Lassen wir nun den Punkt X die x-Achse durchlaufen, so sehen wir unmittelbar ein,

ktko dass die Geraden (34) mit Geschwindigkeiten, deren Verhältniss konstant gleich

k - ko das Strahlenbüschel x =const. durchwandern. Weil k<k, ist, so bewegen sie sich in verschiedener Richtung. Die vertikale Symmetriegerade wird von beiden gleichzeitig passiert.

Hiermit ist die in Nr. 24 ausgesprochene Enveloppeneigenschaft der Kurve Time in dem vorliegenden Fall bewiesen. Denn das oben für den Ast x > X, Y>entwickelte Ergebniss gilt natürlich für die ganze Kurve.

ist,

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27. Wir gehen jetzt zu dem Fall k >k, über und schreiben hier wieder die Gleichung (26) in die Form (35)

x = x, – k log xi + k, log x2
WO
ko Vk2 ? k V 2,2 2

t
V k2 2 Vk,2 -- 2

t2

X 2 = ko Vk2 2 + k Vk, 2

t2

V k2 2 + Vk,' t2

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2=1

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2

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Die Winkel 4. und 4, haben auch in diesem Fall einfache geometrische Bedeutungen. Es steht diesmal die Tangente im Kurvenpunkt P auf einer Geraden x =const. senkrecht. Wird der Fusspunkt mit B bezeichnet, so ist PB konstant gleich p (vgl. Nr. 15). Wir bezeichnen die Projektion P'B' von PB auf der x-Achse mit p' und BB' mit a. Weiter setzen wir

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bestehen. Dabei wird wieder der Ast x> Po, y> 0 betrachtet.

Bei dem Beweis benützen wir das dreirechtwinklige Viereck PBB'P' und erhalten hiercos II (p')

ko aus zuerst sin II (a)

oder falls wir k=

und a aus (37) eintragen cos II (p)

cos II (p)

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In demselben Viereck ist weiter cot 11 (p')=sin 17(y).cot 1 (p) und infolgedessen, falls wir y aus (23) einführen und cos 11 (p') berechnen,

V k,2 - 12 cos II (p')

V k2 ta

t2

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Es ist somit 42= II (p') und also nach (36) und (39) 4. =a.

= P= Bezeichnen wir diesmal den Abstand zwischen B' und dem Punkt X, mit X, so können wir aus dem eben bewiesenen genau wie in Nr. 26 schliessen, dass

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ist. Setzen wir insbesondere X=0 oder lassen also die vertikale Symmetriegerade der Kurve mit der y-Achse zusammenfallen, so ist X die Abszisse desjenigen Punkts, in dem die auf der Tangente senkrechte Gerade x =const. die X-Achse schneidet.

Wir betrachten hier wiederum diejenigen beiden Geraden x=const., die mit der Tangente parallel sind. Sie liegen zu der Geraden x = X symmetrisch. Bezeichnen wir mit 2 r das von den beiden Geraden auf der x-Achse abgegrenzte Stück, so ist offenbar 11 (T) + (a)=

2 und infoigedessen nach (37)

N(T)=a.

ST

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=

Hieraus folgt nun wieder auf Grund von (40), dass

ko

X k

ist. Dies besagt aber, dass die genannten mit der Tangente parallelen Geraden x = const

= einfach die Geraden

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x=x(1 )

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sind und wir können somit genau dieselben Schlüsse ziehen wie in Nr. 26. Hier ist aber k > ko und es bewegen sich somit die beiden Geraden (41) nach derselben Richtung. Hiermit ist der in Nr. 24 ausgesprochene Satz auch in dem vorliegenden Fall neu bewiesen.

28. Wir gehen jetzt zu der Gleichung (5"). Hier erhalten wir durch Integration als explizite Gleichung der Kurve (T*")2

2

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wo wir wiederum die Indizes weggelassen haben. X, ist die Integrationskonstante.

Aus dieser Gleichung folgt nun unmittelbar, dass die Kurve (T2)eine aequidistante Kurve ist, wie wir schon öfters fanden. Ziehen wir nämlich durch den Kurvenpunkt (x, y)

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2

einen Grenzkreis y=const., so ist auf diesem der x - x, entsprechende Bogen gleich (x ,

- — Xa) e

k2 und somit nach der Gleichung (42) konstant gleich kol

)

- 1. Hieraus folgt, dass die Kurve

k 2 aequidistant von der Geraden x= x. verläuft. Bezeichnen wir ihren Abstand von dieser

k2 Geraden mit g, so ist 2q offenbar die zu dem Bogen 2 ko

7

- 1 gehörende Sehne und es

k, k 2

ko ist somit .cot II(q)=1 )= V - 1 oder k

wie wir schon in Nr. 13 fanden. ko

sin II (9) Die Tangente in dem Punkt P auf der Kurve steht auf einer Geraden x=const. senkrecht. Wird der Fusspunkt mit B bezeichnet, so ist PB konstant gleich p (vgl. Nr. 15). Bezeichnen wir den Abstand von B zu der Geraden x= x, mit g, so bildet g mit den Strecken p und q und der Geraden x=x, ein dreirechtwinkliges Viereck, wo der zwischen p und g liegende spitze

1

ko Winkel II (Q) ist. Infolgedessen ist cot I(C) =

oder also, weil k =

ist, 2

cos II (p)

cos II (p)

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2

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IT

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Diese Gleichung besagt, dass der Ort von B eine aequidistante Kurve zu der Geraden x=X ist. Weiter schliessen wir aber aus (43), dass diese Kurve und die Gerade x= x, von jeder Kurve y=const. das Stück k abgrenzen.

Dies vorausgeschickt beweisen wir nun wieder die in Nr. 24 ausgesprochene Enveloppeneigenschaft. Dabei setzen wir der Einfachkeit halber xo =0. Es sei dann x = X diejenige

: = 0= Gerade x=const., die durch B geht und die somit auf der Tangente senkrecht steht. Betrachten wir dann diejenigen beiden Geraden x=const., die mit der Tangente parallel sind, so sind diese ersichtlich in Bezug auf die Gerade x = X symmetrisch.

X Wir bezeichnen nunmehr mit 2 + das von den beiden genannten Geraden auf dem Grenzkreis y=0 abgegrenzte Stück. Ziehen wir weiter durch B den durch diesen Punkt gehenden Grenzkreis y=const., so grenzen die beiden sieraden auf diesem Grenzkreis ersichtlich das Stück 2 k, ab. Infolgedessen sind dann X und k, 7 und k, entsprechende Bögen konzentrischer Grenzkreise und es ist somit

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Hieraus folgt, dass die mit der Tangente parallelen Geraden x =const. einfach die Geraden

.

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sind. Hieraus schliessen wir wieder genau wie in Nr. 26, dass auch in dem vorliegenden Fall die Behauptung in Nr. 24 richtig ist. Weil k > ko ist, so bewegen sich die beiden Ge. raden in derselben Richtung.

29. Wir gehen schliesslich zu der Differentialgleichung (5''') über. Setzen wir hier

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Hier sind t und x offenbar polare Koordinaten auf derjenigen Grenzkugel, die die Ebene im Zentrum O des Büschels x=const. berührt. Es ist dann eine Bestätigung der in Nr. 17 ge.

c fundenen Resultate, dass die Gleichung (46) einfach die bekannte polare Differentialgleichung der zykloidalen Kurven ist.

Der Vollständigkeit halber führen wir auch hier die Integration aus und erhalten folgende explizite Gleichung der Kurve (TK's, wo to die Integrationskonstante bedeutet:

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hungen mit der Amplitude (to - 1

-1)

Aus dieser können wir wieder alle in Nr. 17 gefundenen Resultate bestätigen. Insbesondere sehen wir, dass die Kurve ans endlich oder unendlich vielen Zweigen besteht, die durch Dre

s um O herum aus einander hervorgehen. Da x = x, eine

ko Spitzentangente ist, können wir uns auf den von dieser Spitze auslaufenden Zweig einschränken und bemerken dann, dass dieser Zweig aus zwei in Bezug auf die Gerade x = xo symme. x x,

sich verändert, so

2 wächst y von p nach der Unendlichkeit.

trischen Ästen besteht. Falls « von xo zu den Werten 20+(- 1)

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Es haben hier wieder x, und X2 eine einfache Bedeutung. In diesem Fall steht nämlich wieder die Tangente in dem Kurvenpunkt P auf einer Geraden x =const. senkrecht. Wird der Fusspunkt mit B bezeichnet, so ist PB konstant gleich p (vgl. Nr. 15). Setzen wir nun OB = a und den Winkel POB = x', so wird behauptet, dass die Gleichungen

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