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in Linienkoordinaten umrechnen, so bekommen wir genau so wie in der Euklid'schen Ebene

k2 (u2+v2)-1=0.

Wir bezeichnen also jetzt die Koordinaten der Schenkel des Winkels w mit (u, v) und (u, v) und führen folgende Bezeichnungen ein:

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Hiermit haben wir w als Funktion von 1, V1, u2, v2 dargestellt.

27. Die Formeln (42) und (44) sowie schon die Formeln (34) und (40) stellen mehrdeutige Ausdrücke für und w dar.

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Knüpfen wir besonders an die Formel (42) an, so merken wir uns zuerst, dass q2 — P1 P2 > 0 ist, was ja nur aussagt, das die von (171) und (272) bestimmte Punktreihe reelle Punkte mit = 0 gemein hat. Weiter ist aber P, > 0, weil (171) und (272) beide innerhalb der Kurve =0 liegen. Also ist

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peltem Vorzeichen zu rechnen ist, zwei entgegengesetzte rein imaginäre giebt. Falls wir diese mit bezeichnen, so stellt der Ausdruck

±ro + v kπ i

sämtliche Werte von nach der Gleichung (42) dar.

In der Gleichung (44) wieder ist 2 <0, was ja nur aussagt, dass das von den Grenzkreisen (u, v) und (u, v) bestimmte Grenzkreisbüschel keine reellen Grenzkreise enthält, die der Kurve =0 angehören. Also ist auch >0 und infolgedessen

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eine reelle Grösse, deren Modul kleiner als 1 ist. Das besagt aber, dass alle Werte von aus der Formel (44) reel sind und in dem Ausdruck

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27.

Es ist nun ein nahe liegender Gedanke die hiermit gewonnenen Formeln auf die ganze Grenzkugel auszudehnen. Wir bekommen dadurch zu jedem Punktpaar (11) und (272) die durch die Formeln (34) und (42) definierten Werter und zu jedem Grenzkreispaar (u, v) und (u, v) die durch die Formeln (40) und (44) festgelegten Werte w.

Falls wir die Sache noch einmal zusammenfassen, so können wir sagen. Jedes Punktpaar (§171), (272) bestimmt einen Grenzkreis oder eine Punktreihe die mit dem Kalottenrand oder der Ordnungskurve =( zwei reelle oder imaginare Punkte gemein hat. Es ist dann

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wo das Doppelverhältniss der vier Punkte bedeutet. In genau gleicher Weise legt jedes Grenzkreispaar (u, v1), (u, v2) ein Grenzkreisbüschel fest, welches mit der Klassenkurve =0 zwei reelle oder imaginäre Grenzkreise gemein hat. Dabei ist

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wo das Doppelverhältniss der vier Grenzkreise ist. Besonders ist dabei hervorzuheben, u dass, wenn das Punktpaar innerhalb des Kalottenrands liegt oder wenn das Grenzkreispaar seinen Schnittpunkt innerhalb des Kalottenrands hat, unter den Werten rund w auch die Maasszahlen der entsprechenden Strecke und des entsprechenden Winkels in der Ebene sich befinden.

Falls wir dies durchführen, so tritt uns sofort eine Beziehung entgegen. Die zwei Grenzkreise eines Büschels, die der Klassenkurve =0 angehören, berühren nämlich die Kurve in den Durchschnittspunkten zwischen der Kurve und der Polare des Büschelzentrums. Daraus folgt dann, dass zwei Grenzkreise des Büschels mit jenen berührenden Grenzkreisen genau dasselbe Doppelverhältniss bilden, wie die Durchschnittspunkte der beiden Grenzkreise

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und der Polare mit den Schnittpunkten zwischen der Polare und der Kurve.. Es ist also λ=μ oder

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wor und w zu der Strecke und dem Winkel in nebenstehender Figur gehören. P und L sind dabei Pol und Polare in Bezug auf den Kalottenrand.

Die Zykeln.

23. Die hiermit eingeführten neuen Anschauungen ermöglichen in die Natur der Abbilder der Zykeln näher einzudringen.

Betrachten wir zuerst den Kreis, so ist dieser die ortogonale Trajektorie eines Strahlenbüschels erster Art und hat die Eigenschaft.

r = const.,

wor den Abstand eines Punkts der Kurve von dem Büschelzentrum bedeutet.

Falls wir nun auf die Grenzkugel projizieren, so wird die daselbst entstandene Kurve die Eigenschaft

λ const.

besitzen, wo dann das Doppelverhältniss des Kurvenpunkts mit dem festen Büschelzentrum und den beiden Schnittpunkten zwischen dem Büschelstrahl und dem Kalottenrand bedeutet. Das Abbild des Kreises ist also der geometrische Ort aller durch einen festen Wert jenes Doppelverhältnisses karaktärisierten Kurven.

Bei der aeqvidistanten Kurve liegt das entsprechende Büschelzentrum auf der Grenzkugel ausserhalb des Kalottenrands und genau in dem Pol des Abbilds der Büschelpolare. Da nun die Kurve in der Ebene aeqvidistant von der Büschelpolare ist, so besagt dies, dass das Abbild auf der Grenzkugel die Grenzkreise des Büschels so schneidet, dass der Schnittpunkt mit den drei Punkten, in denen der betreffande Grenzkreis den Kalottenrand und das Abbild der Büschelpolare scheidet, ein festes Doppelverhältniss bildet. Da aber auch das Büschelzentrum mit denselben Punkten ein festes Doppelverhältnisss bildet, indem sie nämlich harmonisch liegen, so folgt, dass auch das Abbild der aeqvidistansen Kurve das zugehörige Grenzkreisbüschel so schneidet, dass der Schnittpunkt mit dem Büschelzentrum und den Schnittpunkten zwischen dem Grenzkreis und dem Kalottenrand ein festes Doppelverhält. niss bildet.

Das Abbild des Grenzkreises bildet ersichtlich denjenigen Grenzfall, der entsteht, wenn das Büschelzentrum auf dem Kalottenrand liegt.

Falls wir nach der Formel (42) zurückgreifen, können wir die Gleichung der oben besprochenen Abbilder der Zykeln in den Koordinaten und hinschreiben. Wir erhalten

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In dieser Gleichung ist z. B. (1, 1) das feste Büschelzentrum und ($2,72) ein Punkt auf der Kurve. ist die konstante Cayley'sche Masszahl desjenigen Grenzkreisbogens, der (2, 2) mit (1, 1) verbindet.

Die Glechung (46) stellt ersichtlich eine Kurve zweiter Ordnung dar. Man sieht übrigens unmittelbar dass sie der durch den Kalottenrand und die doppelt gezählte Polare des Punkts ($1,71) festgelegten Schaar von Kurven zweiter Ordnung angehört.

πλ

Übrigens kann bemerkt werden, dass die Polare selbst für k hervortritt. Weiter πί findet man, dass die Abbilder der aeqvidistanten Kurven durch = k +p karaktärisiert 2 sind. Das steht alles in Übereinstimmung mit unseren früheren Anschauungen.

Projektive Begründung der Maasszahlen und w.

29. Wir wollen jetzt zur Nummer 12 zurückkehren und von da aus die ganze folgende Entwicklung gewissermassen in umgekehrter Ordnung noch einmal durchlaufen. Wir wollen nämlich, indem wir uns nur auf die Abbildung der Ebene auf die Grenzkugel beziehen, durch Hinzuziehung projektiver Anschauungen die Cayley'sche Maassbestimmung einführen und von da aus die ganze oben durchgelaufene Überlegung neu begründen.

Weil die Geometrie auf der Grenzkugel euklidisch ist, können wir frei mit den Begriffen der Euklid'schen Geometrie auf der Grenzkugel operieren. Insbesondere fassen wir jetzt die Kollineationen ins Auge, die dann genau so wie in der Euklid'schen Ebene definiert werden, wobei die Rolle der Geraden von den Grenzkreisen übernommen wird.

Unter den Kollineationen giebt es dann insbesondere solche, die das Innere der Kalotte in sich überführen. Diese bilden ersichtlich eine Gruppe I.

Die formale Übereinstimmung mit der Euklid'schen Ebene wird vollständig, falls wir die Koordinaten und benützen. Die Mannigfaltigkeit der Kollineationen deckt sich dann mit. der Mannigfaltigkeit der linearen Substitutionen

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und die Gruppe I besteht ersichtlich aus denjenigen Substitutionen dieser Form, die die Kurve

in sich überführen.

§2 + n2 = k2

Dies vorausgesetzt, stellen wir uns die Aufgabe zu zeigen, dass die Gruppe aller Bewegungen und Umlegungen in der Ebene und die Gruppe I auf der Grenzkugel durch Projektion aus einander hervorgehen. Da, wie wir unmittelbar sehen, jede Bewegung oder Umlegung zu einer Substitution in Anlass giebt, erübrigt nur noch das umgekehrte zu zeigen.

Durch Projektion entsteht in der Ebene aus der Gruppe I ersichtlich eine Gruppe G von affinen Kollineationen. Wir werden die hiermit definierte Gruppe G näher untersuchen.

Wir beobachten dabei sogleich, dass ein Grenzkreisbüschel, dessen Zentrum innerhalb der Kalotte, auf dem Kalottenrand oder ausserhalb der Kalotte liegt, in ein ebensolches Büschel durch Vermittelung einer Substitution in übergeht. Dies besagt, dass die Büschel der Ebene durch eine Kollineation der Gruppe G in Büschel derselben Art übergehen.

Liegt besonders ein Büschel dritter Art vor, so ist das Abbild der Büschelpolare auf der Grenzkugel die Polare des Zentrums des daselbst entstandenen Grenzkreisbüschels in Bezug auf den Kalottenrand. Da nun bei jeder Substitution aus I Pol und Polare in Bezug auf den Kalottenrand wiederum Pol und Polare werden, so sehen wir also, dass die Büschel dritter Art in der Ebene durch G so auf Büschel derselben Art übertragen werden, dass die Büschelpolare des gegebenen Büschels in die Polare des transformierten Büschels übergeht. Dieses Resultat können wir auch folgendermassen aussagen.

Die Gruppe G führt einen rechten Winkel in einen rechten Winkel über.

30. Jede Substitution in I lässt einen bestimmten Punkt und seine Polare in Bezug auf den Kalottenrand fest. Schneidet dabei die Polare den Kalottenrand, kann die Kollineation die beiden Seiten der Polare vertauschen und wird dann uneigentlich genannt. Sonst nennen wir sie immer eigentlich. Die Niveaukurven der eigentlichen Substitution sind ersichtlich die Grenzkreise desjenigen Büschels, dessen Zentrum in dem festen Punkt liegt.

Es giebt nun weiter zu jeder eigentlichen Substitution in I eine Schaar von BahnkurDie Bahnkurven bilden dabei die durch den Kalottenrand und die doppelt gezählte festbleibende Polare festgelegte Schaar von Kurven zweiter Ordnung, also gerau diejenige Kurvenschaar, die in der vorigen Abteilung erwähnt wurde. Dabei muss als besonders wichtig für unsere Zwecke hervorgehoben werden, dass alle Kurven der Schaar, die innerhalb der Kalotte liegen, denjenigen Grenzkreis, der mit dem festen Punkt verbindet, senkrecht schneiden. Es sind somit der durch diesen Schnittpunkt gehende Grenzkreis des Büschels und der die Bahnkurve berührende Grenzkreis harmonische Polaren in Bezug auf den Kalottenrand.

Nun ist zu beachten, dass der feste Punkt auf der Grenzkugel eine stetige Schaar von eigentlichen Substitutionen in I festlegt, die dieselben Niveau- und Bahnkurven haben. Es kann somit jede beliebige Niveaukurve mit jeder anderen zur Deckung gebracht werden durch eine dieser Substitutionen in T. Insbesondere kann die durch O gehende Niveaukurve mit jeder beliebigen zur Deckung gebracht werden. Wir können somit den Satz aussprechen.

Die Bahnkurve schneidet jeden Grenzkreis des Büschels so, dass dieser und der berührende Grenzkreis harmonische Polaren sind.

Jenachdem der feste Punkt innerhalb der Kalotte, auf den Rand oder ausserhalb liegt, bekommen wir drei verschiedene Arten von eigentlichen Substitutionen in I, die wir dann wieder Substitutionen erster, zweiter und dritter Art nennen.

Falls wir nunmehr auf die Ebene projizieren, so entsteht aus der eigentlichen Substitution in eine eigentliche Substitution in G, der wir dieselbe Art zuteilen. Aus den Niveau- und Bahnkurven der Substitution in I entstehen die entsprechenden Kurven der Substitution in G. Insbesondere sehen wir sogleich, dass die Niveaukurven ein Strahlenbüschel bilden, dessen Art mit der Art der Substitution zusammenfällt. Bei der Substitution dritter

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