In den Bündeln zweiter und dritter Art liegt die Sache anders. Um uns über die hier vorkommenden Möglichkeiten zu orientieren, bemerken wir vorläufig, dass zwei Ebenen E, und E2, die auf einer dritten E senkrecht stehen, sich schneiden oder nicht jenachdem ihre Spurlinien a, und a2 auf E sich schneiden oder nicht.

Der positive Teil des Satzes ist unmittelbar einleuchtend, denn der Schnittpunkt von a1 und a, ist ebenfalls Schnittpunkt von E, und E. Dabei ist die vom Schnittpunkt auf E gezogene Senkrechte die Schnittlinie von E, und E2.

Wenn aber a, und a, sich nicht schneiden, kann kein Schnittpunkt zwischen E, und E vorkommen. Es müsste nämlich die von dem Schnittpunkt auf E gozogene Senkrechte sowohl E, wie E, angehören und somit ihre Schnittlinie sein. Daraus würde dann folgen, dass a, und a2 durch den Fusspunkt der Senkrechten auf E gehen würden und sich somit schneiden müssten.

Liegt nun ein Bündel dritter Art vor, so stehen sämtliche seine Diametralebenen senkrecht auf der Polarebene. Zwei solche Ebenen schneiden sich also oder nicht, jenachdem ihre Spurlinien auf der Polarebene sich schneiden oder nicht. Fassen wir in diesem Fall als Ebenenbüschel alle diejenigen Ebenen zusammen, die aus der Polarebene ein ebenes Strahlenbüschel ausschneiden, so bekommen wir, da es drei Arten solcher Strahlenbüschel giebt, ebenfalls drei Arten von Ebenenbüscheln.

Durch jeden Strahl des Bündels gehen unendlich viele Ebenen, die eine vorgelegte den Strahl nicht enthaltende Ebene des Bündels schneiden, und unendlich viele Ebenen, die diese Ebene nicht schneiden. Die beiden Arten von Ebenen werden von einander durch zwei Ebenen der letzteren Art getrennt, deren Spurlinien in der Polarebene die beiden durch den Spurpunkt des Strahls zu der Spurlinie der vorgelegten Ebene gezogenen Parallelen ausmachen. Bei dem Bündel zweiter Art geht aus dem obigen Satz unmittelbar hervor, dass zwei Diametralebenen, die auf einer dritten senkrecht stehen, sich nicht schneiden. Wir können aber auch umgekehrt zeigen, dass zwei Diametralebenen, die sich nicht schneiden, auf derselben dritten Diametralebene senkrecht stehen.

Es seien E, und E2 die beiden Ebenen. Weiter sei a, ein beliebiger dem Bündel angehöriger Strahl in E1, a, seine Projektion auf E. Wir behaupten, dass die von a1 und a2 bestimmte Diametralebene E, die ja auf E, senkrecht steht, ebenfalls auf E, ortogonal ist.

Wir betrachten deshalb eine Gerade p, die durch einen beliebigen Punkt P1 auf a, gegen E, senkrecht gezogen ist und also a in einem Punkt P2 schneidet. Wir projizieren p auf E1 und bezeichnen die Projektion mit p1. Weiter projizieren wir p, auf E, und nennen die Projektion P2. Es geht dann natürlich p, durch P und p2 durch P2.

Wenn nun E, nicht auf E senkrecht steht, so fällt p1 nicht mit a, zusammen. Folglich ist der Neigungswinkel (p, p,) von p gegen E, kleiner als der Winkel (p, a1). Der Winkel (p, a,) ist aber der zum Abstand P1 P2 gehörende Parallelwinkel II (P1 P2). Also ist

1 2

(pp.)<п (P1 P2).

Betrachten wir nunmehr die in derselben Ebene liegenden Geraden p, P1 und P2, so bemerken wir, dass P2 in P2 gegen p senkrecht steht, während p, in P, mit p einen Winkel (ppi) einschliesst, der kleiner ist als II (P1 P2). Also schneiden sich p1 und p2. Daraus folgt

aber, dass die Ebenen E, und E, einander schneiden. Das ist aber gegen die Voraussetzung, womit dann bewiesen ist, dass E, senkrecht auf E stehen muss.

Aus dem obigen Beweis folgt, dass jede Diametralebene E, die auf E, oder E, senkrecht ist, ebenfalls die andere Ebene ortogonal schneidet. Steht nämlich E senkrecht auf E, und ist a1 ihre Schnittlinie, so steht nach dem Beweis diejenige Ebene, die a, auf E, projiziert, ebenfalls auf E, senkrecht und fällt also mit E zusammen, womit die Behauptung bewiesen ist.

Betrachten wir nunmehr alle Diametralebenen, die eine gegebene Diametralebene E nicht schneiden, so stehen sie alle senkrecht auf jeder Diametralebene, die auf E, senkrecht steht. Daraus folgt dann insbesondere, dass zwei derartige Ebenen sich niemals schneiden können.

Wir sagen nunmehr, dass zwei Diametralebenen des Bündels zweiter Art, die sich nicht schneiden, parallel sind. Die obige Überlegung zeigt, dass alle Ebenen, die mit einer gegebenen E parallel sind, ebenfalls mit einander parallel sind und ein Büschel paralleler Ebenen bilden. Ersichtlich bilden alle auf E, senkrechten Diametralebenen ein zweites Büschel paralleler Ebenen, die senkrecht auf den Ebenen des früheren Büschels stehen.

Wir können nunmehr auch schliessen, dass durch jeden Bündelstrahl im Bündel zweiter Art eine und nur eine Ebene geht, die mit einer vorgegebenen Ebene des Bündels parallel ist. Diese ausgezeichnete Ebene ist einfach diejenige Ebene, die durch den Bündelstrahl senkrecht auf diejenige Ebene gezogen ist, die den Bündelstrahl auf die vorgegebene Ebene projiziert. Alle anderen durch den Bündelstrahl gehenden Ebenen müssen die vorgegebene Ebene schneiden.

Ausser dem Büschel paralleler Ebenen haben wir natürlich auch wie in den anderen Fällen diejenigen Ebenenbüschel zu betrachten, deren Ebenen sämtlich durch denselben Bündelstrahl gehen.

4. Die hiermit abgeschlossene Überlegung zeigt, dass die Bündel erster und zweiter Art des Lobatscheffskij 'schen Raums das genaue Analogen zu den beiden Strahlenbündeln des Euklid'schen Raums abgeben, nämlich zu dem Bündel aller durch einen Raumpunkt gehenden Strahlen und dem Bündel aller mit einer gegebenen Geraden parallelen Strahlen. Dem Bündel dritter Art entspricht keine besondere Konfiguration in dem Euklid'schen Raum, indem nämlich das Bündel aller auf einer Ebene senkrecht stehenden Strahlen sich auf das Parallelenbündel reduziert.

Mit dem hiermit entwickelten hängt zusammen, dass für die dreierlei Arten von Bündeln dreierlei Arten von Geometrieen gelten. Die oben durchgeführten Überlegungen über die Bündel zweiter Art zeigen, dass sie in dieser Hinsicht besonders ausgezeichnet sind, indem nämlich ihren Ebenen und Strahlen genau dieselben Eigenschaften zukommen wie den Ebenen und Strahlen des Parallelenbündels im Euklid'schen Raum. Besonders ist hervorzuheben, dass die Summe der drei Kantenwinkel in einem von drei Diametralebenen gebildeten Dreikant zwei Rechte beträgt.

Es bietet somit das Parallelenbündel oder das Bündel zweiter Art in vieler Hinsicht den natürlichen Eingang dar für die nähere Untersuchung des Lobatscheffskij'schen Raums, wie wir später sehen werden.

5. Die ortogonalen Trajektorienflächen der oben betrachteten räumlichen Strahlenbündel im Lobatscheffskij'schen Raum oder die s. g. Sphären sind im ersten Fall konzentrische Kugelflächen um das Bündelzentrum als Mittelpunkt. Im zweiten Fall erhalten wir konzentrische Grenzkugeln (Parasphären), während wir im dritten Fall aequidistante Flächen zur Po. larebene (Hypersphären) bekommen.

In einer beliebigen Diametralebene des Bündels sind die Spuren dieser Flächen die ortogonalen Trajektorien der drei Arten von ebenen Strahlenbüscheln oder die s. g. Zykeln. Im ersten Fall bekommen wir konzentrische Kreise, im zweiten Fall konzentrische Grenzkreise (Parazykeln), während im dritten Fall die aequidistanten Kurven zur Polare (Hyperzykeln) auftreten.

Besonders wollen wir im zweiten Fall hervorheben, dass der Durchschnitt eines Diametralebenenbüschels mit der Grenzkugelfläche ein Grenzkreisbüschel ist. Das Zentrum dieses Büschels ist der Durchschnittspunkt zwischen der Büschelachse und der Grenzkugel. Besteht das Ebenenbüschel aus allen mit einer gegebenen Ebene parallelen Ebenen, so wird das Grenz kreisbüschel aus einer Schaar einander nicht schneidender Grenzkreise bestehen. Derartige einander nicht schneidende Grenzkreise nennen wir parallel.

Da auf der ortogonalen Trajektorienfläche der Winkel zweier Durchschnitte genau gleich dem Winkel der schneidenden Ebenen ist, so können wir alle Schlüsse über parallele Ebenen des Bündels zweiter "Art auf die parallelen Grenzkreise übertragen. Jeder Grenzkreis, der auf einem von zwei parallelen Grenzkreisen senkrecht steht, schneidet also ebenfalls den anderen ortogonal. Diejenigen Grenzkreise, die mit je zwei einander ortogonal schneidenden Grenzkrei sen parallel sind, bilden auf der Grenzkugel ein Ortogonalsystem. Insbesondere kann hervorgehoben werden, dass durch jeden Punkt der Grenzkugel ein und nur ein Grenzkreis geht, der mit einem vorgegebenen Grenzkreis parallel ist.

Hiermit hängt dann auch zusammen, dass die Winkelsumme in einem Grenzkreisdreieck zwei Rechte beträgt. Überhaupt deckt sich die Geometrie der Grenzkugel mit der Geometrie der Euklid'schen Ebene.

Der ebene Schnitt des Bündels zweiter Art.

6. Wir wollen im Folgenden näher untersuchen, wie eine Ebene E, die nicht Diametralebene des Bündeis zweiter Art ist, das Bündel schneidet.

Um dabei die Untersuchung nicht zu unterbrechen, beweisen wir vorläufig folgenden Satz. Wenn eine Ebene E zwei parallele Diametralebenen, E, und E2, senkrecht schneidet, so ist sie selbst Diametralebene des Bündels.

Wir bezeichnen mit e, und es die Schnitte zwischen E einerseits und E, und E2 andererseits. Weiter legen wir durch einen beliebigen Punkt A, auf e, diejenige Diametralebene E', die E, und E, senkrecht schneidet. Falls wir nun annehmen, dass E keine Diametralebene ist, so sind die Ebenen E und E' verschieden. Die Schnittgeraden von Emit E, und E seien a1 und a2. Dann ist A, der Schnittpunkt von e, und a1.

Weil E und E' den Punkt A1 gemeinsam haben, schneiden sie sich längs einer von A, auslaufenden Geraden p. Die Gerade p ist weiter senkrecht sowohl auf E, wie E. Sie schneidet also E2 in einem Punkt A2, der sowohl auf e, wie a, liegt und somit ihren Schnittpunkt bildet.

Weil A, A2 senkrecht sowohl auf E, wie auf E ist, so ist sie die gemeinsame Senkrechte von a, und a. Diese Strahlen gehören aber dem Bündel zweiter Art an und sind folglich parallel. Sie können also keine gemeinsame Senkrechte haben. Hiermit fällt dann auch die Möglichkeit, dass E keine Diametralebene wäre, womit der Satz bewiesen ist.

Mit Hilfe dieses Satzes können wir unmittelbar folgendes beweisen.

Ist E eine Ebene, die keine Diametralebene des Bündels ist, so giebt es im Bündel einen und nur einen Strahl, der auf E senkrecht steht.

Wir projizieren deshalb einen beliebigen Strahl g1 des Bündels auf E und nennen die projizierende Ebene E. Weiter projizieren wir einen in E, nicht liegenden Strahl 92 des Bündels auf E und nennen die projizierende Ebene E.

Die Ebenen E, und E, sind beide senkrecht auf E. Sie müssen sich folglich schneiden, denn sonst wäre nach dem vorigen Satz die Ebene E eine Diametralebene des Bündels. Die Schnittgerade go ist dann die in dem Satz verlangte Senkrechte auf E.

Es kann nun nicht zwei derartige Senkrechten geben. Denn zwei parallele Geraden können nicht auf derselben Ebene senkrecht stehen.

Unter den übrigen Strahlen des Bündels sind diejenigen besonders hervorzuheben, die mit E zusammen ein Bündel zweiter Art bestimmen (vgl. Nr. 2). Diese Strahlen bilden ersichtlich einen Kegel mit go als Achse, deren Mantelfläche M sich der Ebene E asymptotisch nähert, indem sie sich über die Ebene ausbreitet.

Von den übrigen Strahlen des Bündels gilt dann ersichtlich, dass sie die Ebene E schneiden oder nicht jenachdem sie innerhalb oder ausserhalb der Mantelfläche M verlaufen. Es bestimmen dabei die ersteren Strahlen mit E zusammen Bündel erster Art, während die letzteren Strahlen mit E zusammen Bündel dritter Art festlegen.

7. Wir betrachten jetzt die Ebenenbüschel des Bündels. Liegt dann die Büschelachse innerhalb von M, so schneidet das Ebenenbüschel aus der Ebene E ersichtlich ein Strahlenbüschel erster Art aus. Wenn dagegen die Büschelachse eine Erzeugende von M ist, so erhalten wir ein Strahlenbüschel zweiter Art, dessen sämtliche Strahlen mit der Projektion der Büschelachse auf E parallel sind. Wenn schliesslich die Büschelachse ausserhalb von M verläuft, so schneidet das Ebenenbüschel ein Strahlenbüschel dritter Art aus, dessen Polare von der gemeinsamen Perpendikularebene der Büschelachse und ihrer Projektion auf E ausgeschnitten wird.

Es giebt aber noch die aus parallelen Ebenen zusammengesetzten Büschel des Bündels. Legen wir durch go die Ortogonalebene eines derartigen Büschels, so müssen die Spurlinien sämtlicher Ebenen des Büschels auf E senkrecht auf der Schnittlinie zwischen dieser Ortogonalebene und E stehen. Also wird durch ein Büschel paralleler Ebenen aus E ein Strahlenbüschel dritter Art ausgeschnitten, dessen Polare durch den Fusspunkt O von go auf E geht.

8. Es lässt sich nun auch umgekehrt zeigen, dass alle Strahlenbüschel in E durch Ebenenbüschel des Bündels ausgeschnitten werden.

Ist das Strahlenbüschel von der ersten Art, so brauchen wir nur den durch das Büschelzentrum gehenden Strahl unseres Bündels zur Achse eines Ebenenbüschels zu nehmen.

Wenn das Strahlenbüschel von der zweiten Art ist, so bestimmt es ein Strahlenbündel zweiter Art im Raum. Wir betrachten die durch go gehende Ebene dieses neuen Bündels. Diese schneidet die Mantelfläche M in einer Geraden, die gleichzeitig dem gegebenen und dem eben eingeführten Bündel angehört. Das Ebenenbüschel mit dieser Geraden als Achse schneidet ersichtlich aus der Ebene E das gegebene Strahlenbüschel zweiter Art aus.

Ist schliesslich das Strahlenbüschel von der dritten Art und geht die Polare nicht durch O, so ziehen wir durch die Polare eine Perpendikularebene auf E. Weil diese Perpendikularebene dem Bündel als Diametralebene nicht angehört, so giebt es im Bündel einen und nur einen Strahl, der auf dieser Ebene senkrecht steht. Wählen wir diesen Strahl zur Achse eines Ebenenbüschels, so wird dadurch das gegebene Strahlenbüschel dritter Art aus der Ebene E ausgeschnitten. Geht die Polare durch O, so wird das Strahlenbüschel durch Diametralebenen ausgeschnitten, die sämtlich senkrecht auf der durch go und die Polare bestimmten Ebene stehen und die also ein Büschel paralleler Ebenen bilden.

Zusammenfassend können wir sagen. Ist ein Ebenenbüschel gegeben, so bestimmt die Achse des Büschels zusammen mit E ein Strahlenbündel im Raum. Jenachdem dieses Bündel von der ersten, zweiten oder dritten Art ist, wird der Durchschnitt des Ebenenbüschels mit E ein Strahlenbüschel erster, zweiter oder dritter Art. Wenn umgekehrt ein ebenes Strahlenbüschel in E gegeben ist, so bestimmt es ein Strahlenbündel im Raum. Jenachdem das gegebene Strahlenbüschel in E von der ersten, zweiten oder dritten Art ist, ist das neue Bündel von der ersten, zweiten oder dritten Art. Das neue Bündel hat mit dem gegebenen einen Strahl gemein. Dieser Strahl ist die Achse desjenigen Ebenenbüschels, welches das gegebene Strahlenbüschel aus E ausschneidet.

Wir haben hiermit eine ein-eindeutige Beziehung zwischen den Ebenenbüscheln des Bündels zweiter Art und den Strahlenbüscheln in E hergestellt. Besonders ist dabei hervorzuheben, dass die Büschelachse innerhalb der Mantelfläche M, auf M oder ausserhalb M liegt, jenachdem das Strahlenbüschel in E von der ersten, zweiten oder dritten Art ist.

9. Wir können die hiermit gewonnenen Ergebnisse erheblich präzisieren. Es besteht nähmlich, wenn das Strahlenbüschel von der dritten Art ist, eine einfache Beziehung zwischen der Lage der Polare in E und der Büschelachse des zugehörigen Ebenenbüschels im Raum.

Vorläufig machen wir uns folgende Sache klar. Liegt die Büschelachse a innerhalb von M, so schneiden alle Ebenen des Ebenenbüschels die Ebene E. Ist die Achse a eine Erzeugende von M, so ist die längs a die Fläche M tangierende Ebene die einzige des Büschels, die E nicht schneidet. Liegt schliesslich a ausserhalb von M, so trennen die beiden durch a gezogenen tangierenden Ebenen der Fläche M diejenigen Ebenen des Ebenenbüschels, die E schneiden, von denjenigen, die E nicht schneiden. Dies ist unmittelbar klar, denn jede Diametralebene, die M schneidet, schneidet ebenfalls die Ebene E und umgekehrt.

Wir fassen das letzte Ergebnis besonders ins Auge und bezeichnen mit t1 und t2 diejenigen Erzeugenden von M, längs deren die tangierenden Ebenen die Fläche M berühren. Weiter bezeichnen wir mit p die Polare des zugehörigen Strahlenbüschels in E. Wir wollen