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8. Nach diesen Vorbereitungen gehen wir zu unserem Problem. Wir nennen zwei zwischen denselben Meridianen liegende Bögen zweier Breitenzykeln entsprechende Bögen und stellen uns, in Übereinstimmung mit den in Nr. 2 durchgeführten Entwickelungen über die Pseudosphäre, die Aufgabe, eine Rotationsfläche in R anzugeben, auf welcher entsprechende Breitenzykelbögen B und pro durch die Gleichung

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1

3

vereinigt sind. Hier ist o der längs einem Meridian gemessene Abstand der Breitenzykeln und k eine Konstante.

Die Meridiankurve dieser Fläche nennen wir Tractrix und bezeichnen sie mit Toke) Unseren drei Fällen entsprechend erhalten wir drei Arten von Tractricen, die wir mit (TCK"),, (T(*)und (7*"); bezeichnen.

Wir können nun einfach die obige Gleichung in eine Bedingung für diese Meridiankurve umsetzen. Wir bezeichnen deshalb mit y und yo die y-Koordinaten derjenigen beiden Punkte auf der Meridiankurve, von denen bei der Drehung die betrachteten Breitenzykeln beschrieben werden. Ersichtlich können wir nun durch eine zu dieser Drehung konjugierte Drehung die eine Breitenzykelebene in die andere überführen, wodurch ß und B in entsprechende Bögen zweier konzentrischer Zykeln übergehen. Hieraus folgt, dass das Verhältniss in den drei

g(0)

Fällen durch die Ausdrücke

(0) V2 - 42

ko

cot 11 (y)

1

1 cot 11 (y;")?

sin 11 (93) sin 11 (y:o) gegeben ist.

Indem wir nach der Fragestellung zurückgreifen, erhalten wir hieraus für die drei Kurven Tk) die Beziehungen

cot II (y) (3')

cot 11(7.9)

61

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=e

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(0)

wo y und y© die y-Koordinaten zweier Punkte und o die Kurvenlänge zwischen diesen Punk

y ten bedeuten

.

9. Aus diesen Gleichungen können wir nun unmittelbar die Differentialgleichungen der drei Kurven Tulis ableiten, indem wir jedesmal nach y differentiieren und dann do aus (2) eintragen. Um dies durchzuführen, schreiben wir zuerst die Gleichungen (3) in die Form

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Falls wir nun jedesmal do aus der entsprechenden Gleichung (2) eintragen, kommen wir zu folgenden Differentialgleichungen der Kurven (7),, (T”), und (T*");:

2

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· 10. Aus den hiermit abgeleiteten Differentialgleichungen, wo jedesmal die Wurzelgrösse mit doppeltem Vorzeichen zu rechnen ist, können wir vorläufig einige Resultate ablesen.

Vor allem bemerken wir, dass x als Funktion von y bis auf eine additive Konstante bestimmt ist. Dies besagt, dass die Lösungen von (5) durch die zur vorgelegten Drehung

. konjugierten Drehungen aus einander hervorgehen.

Die Gleichung (5') behält für jeden Wert von k reelle Bedeutung, (5") dagegen nur für k3 ko und (5"") nur für k > ko. Der Fall k=00 ist jedesmal besonders bemerkenswert. Es ist dann nämlich

0

dx oder

y =const. Die Kurve T ist also jedesmal eine Bahnkurve zu der konjugierten Drehung. Die zugehörige Rotationsfläche ist dann die in Nr. 5 besprochene Fläche, die bei jeder zu dem Doppelbüschel gehörenden Schraubung in sich verschoben wird. Auf dieser Fläche sind entsprechende Breitenzykelbögen gleich.

dx2 Für k=k, ist nach (5") 0 oder xq=const. Die Kurven (T"**'), fallen somit ein

dy

ko

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dyz

ko

fach mit diesen Geraden zusammen und es ist also die von uns gesuchte Rotationsfläche in diesem Fall eine Ebene. Aus (5') wieder folgt für k=ko die Differentialgleichung

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ko

ist, wo X

die Integrationskonstante ist und links das obere oder untere Vorzeichen zu nehmen ist, jenachdem y. >0 oder <0 ist. Dies ist aber die Gleichung derjenigen vier Geraden, die mit der x,-Achse und der Geraden xy = x;" gleichzeitig parallel sind. Es fällt so

, mit (T*), mit diesen Geraden zusammen und die zugehörige Rotationsfläche ist einfach aus zwei asymptotischen Kegelmanteln zusammengesetzt.

(0)

Eigenschaften der Tractrix.

11. Die Kurven TC) haben eine einfache Tangenteneigenschaft, die das Analogon zu der bekannten Eigenschaft der Tangente bei der gewöhnlichen Tractrix im Euklid'schen Raum bildet. Bei Ableitung dieser Eigenschaft werden wir jedesmal für die Konstante k eine einfache Bedeutung finden.

Wir kehren nach der Gleichung (1) zurück. Falls wir hier die Werte von do aus den Gleichungen (4) eintragen, so erhalten wir in den drei Fällen die Beziehungen

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Wir wollen diese Gleichungen jede für sich näher in Betracht ziehen.

12. Ist in der Gleichung (6') zuerst k <ko, so ist w, < II (y) und es schneidet somit die Tangente in jedem Punkt der Kurve die X-Achse. Bezeichnen wir die Länge der Tangente zwischen dem Berührungspunkt und der x,-Achse mit 1, so erhalten wir aus dem von r, y, und der x,-Achse gebildeten Dreieck die Beziehung

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Falls wir diese Gleichung mit (6') vergleichen, so seben wir, dass

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ist. Hieraus folgt dann insbesondere, dass r längs der ganzen Kurve konstant ist. Die Kurve (TS”), hat somit für k <ko genau dieselbe Eigenschaft der Tangente wie die Tractrix im Euklid'schen Raum.

Ist k=ko, so ist nach (6') w, = 11(91). Dies steht in Übereinstimmung mit der in Nr. 10 entwickelten Tatsache, dass die Kurve (TC.), eine mit der x,-Achse parallele Gerade ist.

Wenn schliesslich k > ke ist, so ist nach (6') w, >11 () und es haben somit die Tangente und die X -Achse eine gemeinsame Senkrechte, die dann eine Gerade x, =const. ist. Be

. zeichnen wir das Stück der Tangente zwischen dem Berührungspunkt und dieser Senkrechten mit P, so erhalten wir aus dem von Yı, der Tangente, der x,-Achse und der Senkrechten gebildeten dreirechtwinkligen Viereck die Beziehung

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Hieraus schliessen wir, dass p längs der ganzen Kurve konstant ist.

k

13. Gehen wir jetzt zu der Kurve (TC"), so bemerken wir sogleich, dass nach der

2

, Gleichung (6") der Winkel w, konstant ist. Bestimmen wir in diesem Fall die Länge p durch die Gleichung

II (P) = 62,

=

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und tragen die so festgelegte konstante Länge p längs der Tangente von dem Berührungspunkt ab, so steht die durch den anderen Endpunkt von p gehende Gerade X2 const. auf p senkrecht. Da weiter nach (6") k und p durch die Gleichung (8) verbunden sind, so sind wir somit zu genau derselben Tangenteneigenschaft gekommen wie in der vorigen Nummer für k>ko.

Hierbei ist angenommen, dass k>k, ist. Es kann aber auch k = k, sein. Dann ist nach (6") der Winkel W, = 0). Die Kurve ist dann, wie in Nr. 10 hervorgehoben wurde, selbst eine Gerade X2 =const. Die Eigenschaft der Kurve (7), die Geraden 2, =const. isogonal zu schneiden, führt

. übrigens unmittelbar zur Bestimmung der Kurve. Wird nämlich die Konstante q durch die Gleichung (9)

62

2

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bestimmt und betrachten wir diejenigen beiden aequidistanten Kurven, die im Abstand q von einer Geraden x2 =const. laufen, so schneiden diese offenbar jeden anderen Strahl 2, =const. unter dem Winkel 0,. Da aber die Gesamtheit dieser Kurven keine Einhüllende haben, so sind sie die einzigen Kurven, die die genannte Eigenschaft besitzen, und es muss somit (7"), eine derartige Kurve sein.

Übrigens folgt aus (6'') und (9), dass q durch die Gleichung

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k,

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mit k verbunden ist. Wir können somit den Satz aussprechen Die Kurve (76'), ist eine aequidistante Kurve, die in dem durch die Gleichung (10) be

T2 stimmten Abstand q von einer Geraden X2 = const läuft.

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14. In dem dritten Fall ist nach (6") für endliche Werte von k der Winkel Wz kleiner als Es giebt somit eine von dem radius vector des Berührungspunkts verschiedene Ge

2 rade x3 =const., die auf der Tangente senkrecht steht. Falls wir nun wieder die Länge der Tangente zwischen dem Berührungspunkt und dieser Senkrechten mit p bezeichnen, so erhalten wir aus dem von der Senkrechten, der Tangente und der 3-Koordinate gebildeten Dreieck die Beziehung

cos II (P). COS 03

cos II (Y3)

Durch Vergleichung mit (6'') erhalten wir wieder zwischen k und p die Gleichung (8) und können somit wieder schliessen, dass p längs der ganzen Kurve konstant ist.

15. Die hiermit gewonnenen Ergebnisse fassen wir in folgenden Satz zusammen.

Für k <ko schneidet die Tangente der Kurve (T*?), die xy-Achse und es ist die Länge der Tangente zwischen dem Berührungspunkt und dem Schnittpunkt mit der x,-Achse konstant gleich r, wo r durch die Gleichung (7) bestimmt ist. Für k > ko steht in jedem von den drei Fällen die Tangente der Kurve Tk) auf einer zugehörigen Geraden x=const. senkrecht und es ist die Länge der Tangente zwischen dem Berührungspunkt und der genannten Geraden konstant gleich p, wo p durch die Gleichung (8) festgelegt wird.

Der Fall k=k, ist durchaus als ein Grenzfall zu betrachten. Es ist nämlich dann r oder p unendlich gross.

Ersichtlich können wir die hiermit gewonnene Tangenteneigenschaft als eine Trajektorieneigenschaft der Kurve aussprechen. Wir erhalten folgenden Satz, wo r und p die obigen Bedeutungen haben:

Die Tractric im Raum Rx, ist ortogonale Trajektorie ciner Zykelschaar und zwar für k<k, zu der Schaar aller Kreise mit dem Radius r, deren Mittelpunkte auf der -Achse liegen, und für k >k, zu der Schaar aller aequidistanten Kurven, die im Abstand p von den Geraden X =const. laufen.

Für k=ko besteht die ortogonale Zykelschaar ersichtlich aus konzentrischen Grenzkreisen.

Für k = 00 ist p== 0) und es fallen somit die aequidistanten Kurven mit den Geraden X = const. Zusammen. Die Kurve TK.) ist also ein beliebiger Zykel y=const., wie schon in Nr. 10 hervorgehoben wurde.

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