TOM. XLVI. N:o 7.

Zur Theorie der Lobatscheffskij'schen Geometrie

von

Severin Johansson.

Helsingfors 1917.

Die Strahlenbündel des Lobatscheffskij'schen Raums.

1. Es giebt im Lobatscheffskij'schen Raum dreierlei Arten von Strahlenbündeln. Das Bündel erster Art besteht aus allen Geraden, die durch einen Raumpunkt gehen; das Bündel zweiter Art oder das Parallelenbündel enthält alle Geraden des Raums, die mit einer gegebenen Geraden in der einen Richtung und also mit einander parallel 'sind; das Bündel dritter Art schliesslich ist aus allen Geraden zusammengesetzt, die auf derselben Ebene, der Polarebene des Bündels, senkrecht stehen.

Jede durch einen Bündelstrahl gehende Ebene nennen wir eine Diametralebene des Bündels; der Schnitt zweier Diametralebenen ist wiederum ein Strahl des Bündels.

Diejenigen Strahlen, die eine Diametralebene erzeugen, bilden ein ebenes Strahlenbüschel. Jenachdem das Bündel von der ersten, zweiten oder dritten Art ist, besteht das ebene Büschel aus allen Strahlen der Diametralebene, die durch einen Punkt gehen, aus allen Strahlen eines ebenen Parallelenbüschels oder aber aus allen Strahlen, die auf der Spurlinie der Polarebene in der Diametralebene senkrecht stehen. Die Spurlinie nennen wir die Polare des ebenen Büschels. Übrigens sagen wir, dass die dreierlei Strahlenbüschel bezw. von der ersten, zweiten oder dritten Art sind.

2. Man bemerkt sogleich, dass eine beliebige Ebene und eine in ihr nicht liegende Gerade immer demselben Strahlenbündel als Diametralebene und Strahl angehören. Sie bestimmen dabei das Bündel eindeutig.

Ist nämlich g die Gerade und E die Ebene und g' die Projektion von g auf E, so sind drei Möglichkeiten vorhanden. Entweder schneidet nämlich g die Projektion g', oder aber g und g' sind parallel, oder sie haben schliesslich eine gemeinsame Senkrechte. Im ersten Fall bestimmen g und E ein Bündel erster Art mit dem Schnittpunkt als Bündelzentrum; im zweiten Fall bekommen wir ein Bündel zweiter Art, falls wir diejenigen Geraden in Betracht ziehen, die mit g und g' parallel sind. Wenn wir im dritten Fall die gemeinsame Perpendikularebene zu g und g' durch ihre gemeinsame Senkrechte legen, so bilden diejenigen Strahlen, die auf der Perpendikularebene senkrecht stehen, das gemeinte Bündel dritter Art des Raums.

3. Die Frage nach dem Schnitt zweier Diametralebenen erledigt sich einfach für die Bündel erster Art. Die Diametralebenen schneiden sich nämlich dann immer, weil sie das Bündelzentrum gemein haben und es giebt somit nur noch eine Art von Ebenenbüscheln innerhalb des Bündels, nämlich das Büschel aller durch einen Bündelstrahl gehenden Ebenen.